프리드버그 선형대수학 - 1장 벡터공간

Friedberg Linear Algebra

 

프리드버그 선형대수학을 공부하면서 각각의 장 별로 정리를 하였다. 

 

 

Table of Contents

1. 벡터공간$($This post$)$

2. 선형변환과 행렬

3. 기본행렬연산과 연립일차방정식

4. 행렬식

5. 대각화

6. 내적공간

7. 표준형

 

 

The overview of this chapter

1장에서는 벡터공간의 기본적인 이론$($부분공간, 일차결합, 일차독립과 일차종속, 기저, 차원$)$에 대해 학습하였다.

 

 

1.1 개론

 

 힘, 속도, 가속도 등 많은 물리적 개념은 크기 뿐만 아니라, 방향 정보도 함께 가지고 있다. 이처럼 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 '벡터$($vector$)$' 라고 한다. 벡터는 흔히 화살표로 표현하며, 벡터의 크기는 화살표의 길기, 벡터가 작용하는 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다.

 두 물리량이 함께 작용한다고 가정했을 때, 물리량의 크기 뿐만 아니라 방향을 함께 고려해야 한다. 두 물리량이 결합될 때 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있다. 이 합성벡터를 두 벡터의 '합$($sum$)$' 이라 하며, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형의 법칙이라고 한다. 다음의 그림 1을 확인하면 알 수 있다.

 

그림 1. 벡터 합의 평행사변형 법칙

 

 벡터 합의 평행사변형 법칙: 시점이 $P$로 일치하는 두 벡터 $x,y$의 합은 점 $P$에서 시작하는 벡터이고, 이는 $x$와 $y$를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타낸다. 

 

 벡터에는 합 외에도 크기를 확대하거나 축소할 수 있는데, 이를 벡터에 실수를 곱하는 스칼라 곱이라는 연산으로 나타낸다. 벡터 $x$를 유향성분이라고 할 때, 0이 아닌 실수 $t$에 대해 벡터 $tx$의 방향은 $t>0$일 때 $x$의 방향과 같고, $t<0$일 때 $x$의 방향과 $180^{\circ}$ 반대이다. 벡터 $tx$의 크기는 유향선분 $x$의 크기에 $\left| t\right|$를 곱한 것이다. 그리고 영이 아닌 두 벡터 $x,y$에 대해 $y=tx$인 0이 아닌 실수 $t$가 존재할 때, 두 벡터는 평행하다. 다시 말해서, 방향이 같거나 $180^{\circ}$ 반대인 벡터들은 평행이다. 다음의 그림 2는 벡터의 스칼라 곱을 표현한 것이다.

 

그림 2. 벡터의 스칼라 곱

 

 평면에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 대수적으로 설명하면 다음 8가지 성질을 확인할 수 있다.

 

그림 3. 벡터의 합과 스칼라 곱의 8가지 성질

 

 이와 같은 8가지 성질을 만족하는 수학적 구조를 벡터공간$($vector space$)$라고 한다. 위 그림의 출처

 

 공간에서 서로 다른 두 점 $A, B$를 지나는 직선을 생각해보자. 이 공간에 공간좌표를 부여하고 원점을 $O$라고 표기하자. 시점이 $O$이고 종점이 $A,B$인 두 벡터를 각각 $u, v$라 하자. 시점이 $A$이고 종점이 $B$인 벡터를 $w$라 할 때, 시점과 종점을 이어붙이는 방식에 의하면 $u+w=v,w=v-u$이다. 이때, $-u$는 $(-1)u$를 의미한다. 이는 그림 4에서 확인할 수 있다. $w$의 스칼라 곱은 $w$에 평행하지만, 크기는 $w$와 다를 수 있다.

 

두 점 $A,B$를 이은 직선 위 임의의 점은 $A$를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 $t$에 대해 $tw$의 형태로 표현할 수 있다. 반대로, $A$를 시점으로 하는 벡터 $tw$의 종점은 두 점 $A,B$를 지나는 직선 위의 점이다. 따라서 두 점 $A,B$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

 

$x=u+tw=u+t(v-u)$

 

그림 4. 공간에서 서로 다른 두 점 $A,B$를 지나는 직선

 

이제 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A,B,C$를 생각하자. 이 세 점은 하나의 평면을 결정하고, 지금까지 공부한 벡터의 성질을 이용하면 평현의 방정식을 구할 수 있다. 시점이 $A$이고 종점이 $B,C$인 두 벡터를 각각 $u,v$라 하자. 세 점 $A,B,C$로 이루어진 평면 위 임의의 점 $S$는 $A$를 시점으로 하고, $su+tv$ 형태인 벡터 $x$의 종점이다. 벡터 $su$의 종점은 직선 $AB$와, 점 $S$를 지나고 직선 $AC$와 평행한 직선의 교점이다. 다음의 그림 5을 보면 알 수 있다. 같은 방식으로 벡터 $tv$의 종점도 알 수 있다. 임의의 실수 $s,t$에 대해 벡터 $su+tv$는 세 점 $A,B,C$를 포함하는 평면에 위치한다. 따라서 세 점 $A,B,C$를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.

 

$x=A+su+tv$

 

그림 5. 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A,B,C$로 결정되는 평면

 

 

1.2 벡터공간

 

체$($간단히 말하자면, 실수 집합$)$ $F$에서의 벡터공간 또는 선형공간 $\textbf{V}$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.

• 합$($sum$)$은 $\textbf{V}$의 두 원소 $x,y$에 대해 유일한 원소 $x+y\in \textbf{V}$를 대응하는 연산이다. 이때, $x+y$는 $x$와 $y$의 합이라 한다.
• 스칼라 곱$($scalar multiplication$)$은 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $\textbf{V}$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax\in \textbf{V}$를 대응하는 연산이다. 이때, $ax$는 $a$와 $x$의 스칼라 곱$($product$)$이다.

이 벡터공간의 성질은 위의 그림 3과 동일하다. 이 조건들 중 하나라도 지켜지지 않는다면, 그것은 벡터공간이라고 부를 수 없다.

 

여기서 체 $F$의 원소는 스칼라$($scalar$)$, 벡터공간 $\textbf{V}$의 원소는 벡터이다. 이번 절에서 말하는 벡터는 이전의 절에서 말한 벡터가 아닌, 벡터공간의 원소를 가리키는 일반적인 개념이다. 

 

 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$이 체 $F$의 원소일 때, $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ 꼴의 수학적 대상을 $F$에서 성분을 가져온 n순서쌍이라 한다. 순서쌍을 구성하는 원소 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$을 n순서쌍의 성분이라 한다. $F$에서 성분을 가져온 두 n순서쌍 $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$과 $b_{1},b_{2},...,b_{n}$은 $a_{i}=b_{i} (i=1,2,...,n)$일 때, 같다고 정의한다.

 

 F에서 성분을 가져온 $m \times n$ 행렬은 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.

 

$\begin{pmatrix}
 a_{11}&  a_{12}&  ...&  a_{1n}\\
 a_{21}&  a_{22}&  ...&  a_{2n}\\
 ...&  ...&  &  ...\\
 a_{m1}&  a_{m2}&  ...&  a_{mn}\\
\end{pmatrix}$

 

 이때, 모든 $a_{ij}$는 $F$의 원소이다. $i=j$인 성분 $a_{ij}$는 이 행렬의 대각성분, 성분 $a_{i1},a_{i2},...,a_{in}$은 이 행렬의 $i$번째 행$($row$)$, 성분 $a_{1j},a_{2j},...,a_{mj}$는 이 행렬의 $j$번째 열$($column$)$이라 한다. 행렬의 각 행은 $\textbf{F}^{n}$의 벡터로, 각 열은 $\textbf{F}^{m}$의 벡터로 나타낼 수 있다. 더 나아가 $\textbf{F}^{n}$의 행벡터를 $1 \times n$행렬로, $\textbf{F}^{m}$의 열벡터를 $m \times 1$ 행렬로 나타낼 수 있다.

 

모든 성분이 0인 $m \times n$ 행렬을 영행렬$($zero matrix$)$이라 하며 $O$로 표기한다. 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 한다. 두 $m \times n$ 행렬 $A,B$에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 $1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$에 대하여 $A_{ij} = B_{ij}$면 두 행렬은 서로 같다.

 

벡터공간의 정의를 바탕으로 확인할 수 있는 다음의 몇 가지 기본 성질이 있다.

 

정리 - 벡터 합의 소거법칙

$x,y,z \in \textbf{V}$ 이고 $x+z=y+z$일 때, $x=y$이다.

 

정리 - 스칼라 곱의 기본 성질

모든 벡터공간 $\textbf{V}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 벡터 $x$에 대해 $0x=O$이다.
2. 모든 스칼라 $a$와 모든 벡터 $x$에 대해 $(-a)x=-(ax)=a(-x)$이다.
3. 모든 스칼라 $a$에 대해 $aO = O$이다.

 

1.3 부분공간

 

정의  $F$-벡터공간 $\textbf{V}$의 부분집합 $\textbf{W}$를 생각해보자. 이 부분집합 $\textbf{W}$가 $\textbf{V}$에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 $F$-벡터공간일 때, $\textbf{V}$의 부분공간$($subspace$)$이라 한다.

 

 모든 벡터공간 $\textbf{V}$에 대하여 $\textbf{V}$와 ${O}$으 부분공간이다. 특히 ${O}$은 점공간인 부분공간이라 한다. 부분집합 $\textbf{W}$가 $\textbf{V}$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음의 4가지 성질을 만족하는 것이다.

• 성질 1: 모든 $x \in \textbf{W},y \in \textbf{W}$에 대해 $x+y \in \textbf{W}$이다$(\textbf{W}$는 덧셈에 대하여 닫혀있다$)$
• 성질 2: 모든 $c \in F$와 모든 $x \in \textbf{W}$에 대해 $cx \in \textbf{W}$이다$(\textbf{W}$는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다$)$
• 성질 3: $\textbf{W}$는 영벡터를 포함한다.
• 성질 4: $\textbf{W}$에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 $\textbf{W}$의 원소이다.

정리 

벡터공간 $\textbf{V}$와 부분집합 $\textbf{W}$을 생각하자. $\textbf{W}$가 $\textbf{V}$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때, 연산은 $\textbf{V}$에서 정의된 것과 같다.

1. $O \in \textbf{W}$
2. 모든 $x \in \textbf{W}, y \in \textbf{W}$에 대해 $x+y \in \textbf{W}$이다.
3. 모든 $c \in F$와 모든 $x \in \textbf{W}$에 대해 $cx \in \textbf{W}$이다.

 $m \times n$ 행렬 $A$의 전치행렬$($transpose matrix$)$ $A^{t}$는 $A$의 행과 열을 바꾸어 얻은 $n \times m$ 행렬이다. 즉, $(A^{t})_{ij}=A_{ji}$이다. 그리고, 대칭행렬$($symmetric matrix$)$ $A^{t}=A$인 행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다. 전치행렬의 예는 다음과 같다. 

 

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
0 & 5 & -1 \\
\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 5 \\
3 & -1 \\
\end{pmatrix}$

 

 다음 두 종류의 행렬은 특히 중요한다. $m \times n$ 행렬 $A$는 대각성분 아래의 모든 성분이 0이면 상삼각행렬 또는 위삼각행렬이라 한다. 즉, $i>j$일 때 $A_{ij}=0$인 행렬이다. 대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각행렬을 대각행렬$($diagonal matrix$)$이라 한다. 다시 말해, $i \neq j$일 때 $M_{ij}=0$인 $n \times n$ 행렬 $M$이다. 예를 들어 다음 행렬 $A$는 $3 \times 4$ 상삼각행렬이고 $B$는 $3 \times 3$ 대각행렬이다.

 

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 &4  \\
0 & 5 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 8 \\
\end{pmatrix}$

 

 

1.4 일차결합과 연립일차방정식

 

 정의  $\textbf{V}$는 벡터공간이고, $S$는 $\textbf{V}$의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 $u_{1},u_{2},...,u_{n} \in S$와 스칼라 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$에 대해 다음을 만족하는 벡터 $v \in \textbf{V}$는 $S$의 일차결합$($linear combination$)$이라 한다.

 

$v=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+...+a_{n}u_{n}$

 

 이때, $v$는 벡터 $u_{1},u_{2},...,u_{n}$의 일차결합이고 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$은 이 일차결합의 계수$($coefficient$)$이다. 

 

 벡터 $(2,6,8)$은 5개의 벡터 $u_{1}=(1,2,1), u_{2}=(-2,-4,-2), u_{3}=(0,2,3), u_{4}=(2,0,-3), u_{5}=(-3,8,16)$의 일차결합으로 표현할 수 있다. 다음 식을 만족하는 스칼라 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$를 찾아보자. 

 

$(2,6,8) = a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+a_{4}u_{4}+a_{5}u_{5}$

$= (a_{1}-2a_{2}+2a_{4}-3a_{5}, 2a_{1}-4a_{2}+2a_{3}+8a_{5},a_{1}-2a_{2}+3a_{3}-3a_{4}+16a_{5})$

 

 이를 연립방정식으로 표현하면 다음과 같아진다.

 

$a_1-2a_2+2a_4-3a_5=2$

$2a_1-4a_2+2a_3+8a_5=6$

$a_1-2a_2+3a_3-3a_4+16a_5=8$

 

 이 연립방정식을 다음의 세 종류의 연산을 다음과 같은 성질을 지키면서 더욱 풀기 쉬운 연립방정식으로 변형해야 한다.

 

연산

1. 두 방정식의 위치를 바꿈
2. 방정식에 0이 아닌 상수를 곱함
3. 상수배하여 얻은 방정식을 다른 방정식에 더함

 

성질

• 성질 1: 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
• 성질 2: 어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음으로 등장하면$($계수가 처음으로 0이 아니면$)$, 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다. 다시 말해, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다.
• 성질 3: 처음 등장하는 미지수$($계수가 처음으로 0이 아닌 미지수$)$의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.

 

이와 같은 성질을 지키면서 연산을 진행하면 위의 복잡한 연립방정식을 다음과 같이 간단한 연립방정식으로 변환할 수 있다.

 

$a_1-2a_2+a_5=-4$

$a_3+3a_5=7$

$a_4-2a_5=3$

 

이를 다시 작성하면 다음과 같아진다.

 

$a_1=2a_2-a_5-4$

$a_3=-3a_5+7$

$a_4=2a_5+3$

 

이제 벡터 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$를 $a_2,a_5$에 대한 형태로 표현하자.

 

$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(2a_2-a_5-4,a_2,-3a_5+7,2a_5+3,a_5)$

 

위 식은 처음 연립방정식의 해이다. 여기에 $a_2=0,a_5=0$을 대입하여 얻은 벡터 $(-4,0,7,3,0)$도 연립방정식의 해이다. 따라서 벡터 $(2,6,8)$은 다음과 같이 $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

 

$(2,6,8)=-4u_1+0u_2+7u_3+3u_4+0u_5$

 

어떤 집합의 일차결합을 우너소로 하는 집합을 어떻게 부를 수 있을까? 다음의 정의를 살펴보자.

 

정의  벡터공간 $\textbf{V}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$를 생각하자. $S$의 생성공간$($span$)$은 $S$의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 span$(S)$라 표기한다. 편의를 위해 span$(\varnothing) = {0}$으로 정의한다.

 

정리

벡터공간 $\textbf{V}$의 임의의 부분집합 $S$의 생성공간은 $S$를 포함하는 부분공간이다. 또한 $S$를 포함하는 $\textbf{V}$의 부분공간은 반드시 $S$의 생성공간을 포함한다.

 

정의  벡터공간 $\textbf{V}$의 부분집합 $S$에 대해 span$(S) = \textbf{V}$이면 $S$는 $\textbf{V}$를 생성한다. 이 경우 $S$의 벡터가 $\textbf{V}$를 생성한다고 말하기도 한다.

 

 

1.5 일차종속과 일차독립

 

정의  벡터공간 $\textbf{V}$의 부분집합 $S$에 대해 $a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n=0$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1,u_2,...,u_n \in S$와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1,a_2,...,a_n$이 존재하면 집합 $S$는 일차종속$($linearly dependent$)$이라 한다. 이때, $S$의 벡터 또한 일차종속이다.

 

 임의의 벡터 $u_1,u_2,...,u_n$에 대해 $a_1=a_2=...=a_n=0$이면 $a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n=0$이다. 이를 $u_1,u_2,...,u_n$의 일차결합에 대한 영벡터의 자명한 표현$($trivial representation of 0$)$이라 한다. 만약, 집합이 일차종속이면 적절한 벡터를 택해 영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현할 수 있다. 영벡터 0을 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다. $O=1\dot O$은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.

 

정의  벡터공간의 부분집합 $S$가 일차종속이 아니면 일차독립$($linearly independent$)$이다. 이때, $S$의 벡터 또한 일차독립이다.

 

 일차독립인 집합에 대한 다음 명제는 모두 참이다.

 

명제

• 명제 1: 공집합은 일차독립이다. 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다.
• 명제 2: 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다. 만약 ${u}$가 일차종속이면 0이 아닌 스칼라 $a$에 대해 $au=O$이다. 양변에 $a^{-1}$을 곱하면 $u=a^{-1}(au)=a^{-1}O=O$이므로 $u$가 영벡터가 아니라는 사실에 모순이다.
• 명제 3: 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $O$을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.

 

 다음의 정리는 일차종속과 일차독립의 정의를 바탕으로 바로 얻을 수 있으면 매우 중요하다.

 

정리 

$\textbf{V}$는 벡터공간이고 $S_1\subseteq S_2\subseteq \textbf{V}$이다. $S_1$이 일차종속이면 $S_2$도 일차종속이다. 이에 따라서, $S_2$가 일차독립이면 $S_1$도 일차독립이 성립된다.

 

 

1.6 기저와 차원

 

정의  벡터공간 $\textbf{V}$와 부분집합 $\beta$를 생각하자. $\beta$가 일차독립이고 $\textbf{V}$를 생성하면 $\textbf{V}$의 기저$($basis$)$라 한다. $\beta$가 $\textbf{V}$의 기저일 때, $\beta$의 벡터는 $\textbf{V}$의 기저를 형성한다.

 

 예를 들어서, 벡터공간 $\textbf{F}^{n}$에 대해 다음 벡터를 생각하자. 

 

$e_1=(1,0,0,...,0), e_2=(0,1,0,...,0), ..., e_n=(0,0,...,0,1)$

 

 집합 ${e_1,e_2,...,e_n}$은 $\textbf{F}^{n}$의 기저이다. 이 특별한 기저를 $\textbf{F}^{n}$의 표준기저$($standard basis$)$라 한다.

 

정리

유한집합 $S$가 벡터공간 $\textbf{V}$를 생성하면, $S$의 부분집합 중 $\textbf{V}$의 기저가 존재한다. 즉, $\textbf{V}$에는 유한집합인 기저를 포함한다.

 

다음의 정리는 1장에서 가장 중요한 결과라고 할 수 있다.

 

정리 - 대체정리$($replacement theorem$)$

$n$개의 벡터로 이루어진 집합 $G$가 벡터공간 $\textbf{V}$를 생성한다고 하자. $L$이 $m$개의 일차독립인 벡터로 이루어진 $\textbf{V}$의 부분집합이면, $m \leq n$이다. 또한 다음 조건을 만족하는 집합 $H \subseteq G$가 존재한다. $H$는 $n-m$개의 벡터로 이루어졌으며, $L \cup H$는 $\textbf{V}$를 생성한다. 

 

따름정리 1  벡터공간 $\textbf{V}$가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정하자. $\textbf{V}$의 모든 기저는 유한집합이며, 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.

 

유한집합인 기저를 가지는 벡터공간을 생각하자. 대체정리의 따름정리 1에 따르면 $\textbf{V}$의 기저를 형성하는 벡터의 개수는 벡터공간 $\textbf{V}$의 본질적인 성질임을 알 수 있다. 이제 다음을 정의할 수 있다.

 

정의  기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원$($finite dimension$)$이라 한다. $\textbf{V}$의 기저가 $n$개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 $n$은 주어진 벡터공간의 차원$($dimension$)$이고, dim$(\textbf{V})$라 표기한다. 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원$($infinite dimension$)$이다. 

 

 이제 차원의 관점에서 대체정리를 살펴보면, 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$에서 dim$(\textbf{V})$보다 더 많은 개수의 벡터를 가지는 부분집합은 절대 일차독립일 수 없다. 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$에서 dim$(\textbf{V})$보다 더 많은 벡터를 가지면서 일차독립인 부분집합이 존재하지 않는 것처럼, 생성집합의 크기와 관련된 먕제를 생각할 수 있다.

 

따름정리 2  $\textbf{V}$를 차원이 $n$인 벡터공간이라 하자.

1. $\textbf{V}$의 유한 생성집합에는 반드시 $n$개 이상의 벡터가 있다. 또한 $n$개의 벡터로 이루어진 생성집합은 기저이다.
2. 일차독립이고 $n$개의 벡터로 이루어진 부분집합은 $\textbf{V}$의 기저이다.
3. 일차독립인 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다. 다시 말해 $L(\subseteq \textbf{V})$이 일차독립이면 $L \subseteq \beta$인 $\textbf{V}$의 기저 $\beta$가 존재한다. 

다음의 그림 6은 기저에 대한 설명이다.

 

그림 6.&nbsp;기저는 일차독립인 집합과 생성집합의 교집합이다

 

부분공간의 차원

정리  

 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$에 대해 부분공간 $\textbf{W}$는 유한차원이고, dim$(\textbf{W}) \leq $dim$(\textbf{V})$이다. 특히 dim$(\textbf{W}) = $dim$(\textbf{V})$이면 $\textbf{V} = \textbf{W}$이다.

 

따름정리

 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 부분공간 $\textbf{W}$을 생각하자. $\textbf{W}$의 임의의 기저를 가져오면 이 기저를 확장하여 $\textbf{V}$의 기저로 확장할 수 있다.

 

라그랑주 보간법

 이미 알고 있는 값을 바탕으로 그 사이의 값을 추정하는 방법을 보간법이라 한다.

 대체정리의 따름정리 2는 데이터를 다항함수로 근사하는 유용한 공식을 얻는 데 사용한다. $c_0,c_1,...,c_n$이 무한체 $F$에서 꺼낸 스칼라일 때, 다음과 같이 정의한 다항식 $f_0(x),f_1(x),...,f_n(x)$를 $c_0,c_1,...,c_n$에 대한 라그랑주 다항식이라 한다.

 

$f_1(x)=\frac{(x-c_0)...(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})...(x-c_n)}{(c_i-c_0)...(c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})...(c_i-c_n)} = \prod_{k=0,k\neq i}^{n} \frac {x-c_k}{c_i-c_k}$

 

 각 다항식 $f_i(x)$는 차수가 $n$인 다항식이고 $\textbf{P}_n(F)$의 원소이다. 이제 다항함수 $f_i: F \to F$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$f_i(c_i)=\left\{\begin{matrix}
0(i\neq j) \\1(i=j)
\end{matrix}\right.$

 

 라그랑주 다항식의 성질은 집합 $\beta={f_0,f_1,...,f_n}$이 $\textbf{P}_n(F)$의 일차독립인 부분집합임을 보이는 데 사용된다. 다음 함수가 영함수라 가정하자.

 

$\sum_{i=0}^{n}a_if_i = 0$

 

 이 함수에 $c_j$를 입력하면 $\sum_{i=0}^{n}a_if_i(c_j) = 0$이다. 한편, 위의 식들에 의해 $\sum_{i=0}^{n}a_if_i(c_j) = a_j$이다. 따라서 모든 $0 \leq j \leq n$에 대해 $a_j=0$이고 $\beta$는 일차독립이다. $\textbf{P}_n(F)$의 차원이 $n+1$이므로 대체정리의 따름정리 2로부터 $\beta$는 $\textbf{P}_n(F)$의 기저이다. 

 

 $\beta$가 $\textbf{P}_n(F)$의 기저이므로 $\textbf{P}_n(F)$에 속하는 모든 다항식 $g$는 $\beta$의 일차결합 $g = \sum_{i=0}^{n}b_if_i$로 표현할 수 있다. 식의 양변에 $x=c_j$를 입력하면 $g(c_j)$는 다음과 같다.

 

$g(c_j) = \sum_{i=0}^{n}b_if_i(c_j)=b_j$

 

 따라서 $\sum_{i=0}^{n}b_if_i(c_j)$는 $\beta$에 대한 유일한 일차결합 표현이다. 이 식을 라그랑주 보간법이라 한다.