프리드버그 선형대수학 - 4장 행렬식

Friedberg Linear Algebra

 

프리드버그 선형대수학을 공부하면서 각각의 장 별로 정리를 하였다. 

 

 

Table of Contents

1. 벡터공간

2. 선형변환과 행렬

3. 기본행렬연산과 연립일차방정식

4. 행렬식$($This post$)$

5. 대각화

6. 내적공간

7. 표준형

 

 

The overview of this chapter

 4장에서는 행렬식에 대하여 학습하였다. 행렬식은 과거에는 대단히 중요한 주제였으나, 최근에는 그 중요성이 많이 줄었다. 결과적으로 이 장에서는 두 가지 선택지를 제공한다. 행렬식을 이론적으로 완벽히 규명하는 길$($4.1절 부터 4.3절$)$과 이후 장에서 사용되는 행렬식에 대한 중요한 사실들을 요약한 길$($4.4절$)$이다. 이는 당신의 행렬식에 대한 필요에 따라서 골라보면 된다.

 

 

4.1 2차 정사각행렬의 행렬식

 이번 절에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 정의하고, 넓이와 향의 관점에서 행렬식이 가지는 기하학적 의미를 다뤘다.

 

정의

체 $F$의 원소를 성분으로 하는 $2 \times 2$행렬 $A$가 다음과 같다고 하자.

 

$A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}$

 

스칼라 $ad-bc$를 $A$의 행렬식$($determinant$)$이라 하며, $det(A)$ 또는 $|A|$라 표기한다.

 

 예를 들어서 두 행렬 $A, B$가 있을 때, 이 둘의 합 $A+B$에 대한 행렬식 $det(A+B)$는 $det(A+B) \neq det(A) + det(B)$이므로 함수 $det: \textbf{M}_{2 \times 2}(R) \to R$는 선형이 아니다. 그러나 행렬식에는 중요한 선형적 성질이 있다. 다음의 정리를 보자.

 

정리

함수 $det: \textbf{M}_{2 \times 2}(F) \to F$는 $2 \times 2$행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 $u, v, w \in \textbf{F}^{2}$과 스칼라 $k$에 대하여 다음 두 식이 성립한다.

1. $det \begin{pmatrix}u+kv \\ w\end{pmatrix}=det \begin{pmatrix}u \\ w\end{pmatrix} + k \cdot det \begin{pmatrix}v \\ w\end{pmatrix}$
2. $det \begin{pmatrix}w \\ u+kv \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix}w \\ u \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix}w \\ v \end{pmatrix}$

 

 일반적으로 행렬식의 값으로 가역행렬을 판단할 수 있다.

 

정리

행렬 $A \in \textbf{M}_{2 \times 2}(F)$에 대하여 $A$의 행렬식이 0이 아니기 위한 필요충분조건은 $A$가 역행렬인 것이다. 특히, $A$가 가역행렬이면 역행렬은 다음과 같다.

 

$A^{-1}=\frac {1}{det(A)} \begin{pmatrix}A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11}\\ \end{pmatrix}$

 

 

평행사변형의 넓이

 $\textbf{R}^2$의 두 벡터가 이루는 각$($angle$)$은 주어진 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 두 벡터가 이루는 가 $\theta (0 \leq \theta \leq \pi)$을 의미한다.

 $\beta={u,v}$가 $\textbf{R}^2$의 순서기저일 때, $\beta$의 향$($orientation$)$을 다음과 같은 실수로 정의한다.

 

$\mathfrak{O}\begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix} = \frac {det\begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix}}{|det\begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix}|}$

 

 따라서 $\mathfrak{O}\begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix}=\pm1$이다. 좌표계 ${u,v}$에 대하여 벡터 $u$를 시계 반대방향으로 각 $\theta (0 \leq \theta \leq \pi)$만큼 회전하여 벡터 $v$에 포갤 수 있으면 이 좌표계는 오른손 좌표계라 한다. 그렇지 않으면 ${u,v}$는 왼손 좌표계라 한다.

 다음과 같은 방식으로 임의의 순서집합 ${u,v} \in \textbf{R}^2$에 대응하는 평행사변형을 생각할 수 있다. $u,v$를 $\textbf{R}^2$의 원점을 시점으로 하는 유향선분이라 생각하자. 이웃한 두 변 $u,v$를 가지는 평행사변형을 $u$와 $v$로 결정되는 평행사변형이라 한다. 집합 ${u,v}$가 일차종속이면, $u$와 $v$로 결정되는 평행사변형은 선분으로 최화하여 그 넓이는 0이 된다. 그리고 이 평행사변형의 넓이는 다음과 같다.

 

$($평행사변형의 넓이$)$=$\mathfrak{O}\begin{pmatrix}u \\ v\\ \end{pmatrix} \cdot det c\begin{pmatrix}u \\ v\\ \end{pmatrix}=|det \begin{pmatrix}u \\ v\\ \end{pmatrix}|$

 

 

4.2 $n$차 정사각행렬의 행렬식

이번 절에서는 $n \geq 3$인 $n \times n$행렬에서 행렬식을 정의한다. 편의를 위해 다음과 같이 정의하자.

 $n \geq 2$일 때, 행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $A$의 $i$행과 $j$열을 지워서 얻은 $(n-1) \times (n-1)$행렬을 $\tilde{A}_{ij}$라 한다.

 

 예를 들어, $3 \times 3$행렬 $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$가 있다고 하자.

 

 이때, 행렬 $\tilde{A}_{11}, \tilde{A}_{32}$는 각각 다음과 같다.

 

$\tilde{A}_{11}=\begin{pmatrix}5 & 6\\8 & 9\\ \end{pmatrix}, \tilde{A}_{32}=\begin{pmatrix}1 & 3\\4 & 6\\ \end{pmatrix}$

 

정의

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $det(A)$를 다음과 같이 귀납적으로 정의하자. 

 

$det(A)=\left\{\begin{matrix}
A_{11} & (n=1) \\
\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j} \cdot det(\tilde{A}_{1j}) & (n \leq 2) \\
\end{matrix}\right. $

• 스칼라 $det(A)$는 $A$의 행렬식이라 하며, $|A|$라 표기한다.
• 스칼라 $(-1)^{i+j}det(\tilde{A}_{1j})$는 $A$의 $i$행 $j$열 성분에 대한 여인수$($cofactor$)$라 한다.

 

 $A$의 $i$행 $j$열에 대한 여인수를 $c_{ij}=(-1)^{i+j}det(\tilde{A}_{ij})$로 표기하면 $A$의 행렬식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$det(A)=A_{11}c_{11}+A_{12}c_{12}+...+A_{1n}c_{1n}$

 

 즉, $A$의 행렬식은 1행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 것이다 위 공식은 $A$의 1행에 대한 여인수 전개$($cofactor expansion$)$라 한다. $2 \times 2$행렬에 대하여 여인수 전개로 정의한 행렬식과 4.1절에서 다룬 행렬식의 정의는 서로 같다. 이 여인수 전개에 대한 예시는 책을 확인하길 바란다.

 

 앞서 설명한 정리를 생각해보면, $2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 선형변환이 아니지만 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 이 성질을 임의의 $n \times n$정사각행렬로 확장하자.

 

정리

$n \times n$행렬의 행렬식은 나머지 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 $1 \leq r \leq n$인 $r$에 대하여 다음 식이 성립한다. 이때 $k$는 스칼라이고, $u, v$와 각 $a_i$는 행벡터이다.

 

$det\begin{pmatrix}a_1 \\... \\a_{r-1} \\u+kv \\a_{r+1} \\... \\a_n\end{pmatrix}=det\begin{pmatrix}a_1 \\... \\a_{r-1} \\u \\
a_{r+1} \\
... \\
a_n
\end{pmatrix}+k \cdot det\begin{pmatrix}
a_1 \\
... \\
a_{r-1} \\
v \\
a_{r+1} \\
... \\
a_n
\end{pmatrix}$

 

 이제 임의의 행에 대한 여인수 전개를 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있음을 증명하자.

 

정리

정사각행렬의 행렬식은 임의의 행에 대하여 여인수 전개하여 구할 수 있다. 즉 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$와 임의의 정수 $i(i \leq i \leq n)$에 대하여 다음이 성립한다.

 

$det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij} \cdot det(\tilde{A}_{ij})$

 

이에 대한 따름정리로 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$의 두 행이 같으면 $det(A)=0$이다.

 

 여인수 전개와 기본행연산을 함께 사용하면 행렬식을 효과적으로 계산할 수 있다. 이 방법을 공부하기에 앞서, 행렬에 기본행연산을 적용할 때 행렬식이 어떻게 바뀌는지 알아보자. 

 

정리

기본행연산이 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 미치는 영향을 정리하면 다음과 같다.

1. $A$의 두 행을 교환하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $det(B)=-det(A)$이다.
2. $A$의 한 행에 영이 아닌 스칼라 $k$를 곱하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $det(B)=k \cdot det(A)$이다.
3. $A$의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $det(B)=det(A)$이다.

 

 위의 정리는 행렬식의 계산을 더욱 간단하게 만든다. 예를 들어, 어떤 행렬 $A$가 있을 때, 위의 정리를 적용하여 상삼각행렬을 만들게 된다면 행렬식의 계산이 간단해진다. 왜냐하면, 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱과 같기 때문이다. 임의의 정사각행렬은 1형과 3형 기본행연산만을 적용하여 상삼각행렬로 바꿀 수 있다. 그렇다면 임의의 정사각행렬의 행렬식 또한 쉽게 계산할 수 있다.

 

 

4.3 행렬식의 성질

 행렬에 기본행연산을 적용하는 것과 행렬에 적절한 기본행렬을 곱하는 것은 같다. 이 결과를 이용하면 기본행연산을 여러 번 적용할 때 행렬식이 어떻게 변화하는지 이해할 수 있다. 항등행렬의 행렬식은 1이므로, 앞서 설명한 기본행연산이 행렬식에 미치는 영향을 다음과 같이 기본행렬의 행렬식에 대한 사실로 바꿀 수 있다.

1. $I$의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 기본행렬을 $E$라 하면 $det(E)=-1$이다.
2. $I$의 한 행에 영이 아닌 스칼라 $k$를 곱하여 얻은 기본행렬을 $E$라 하면 $det(E)=k$이다.
3. $I$의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 기본행렬을 $E$라 하면 $det(E)=1$이다.

 

 이제 이 사실을 이용하여 행렬식이 곱을 보존하는 함수임을 증명하자.

 

정리

임의의 $A, B \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $det(AB)=det(A) \cdot det(B)$이다.

이에 대한 따름정리로 행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$가 가역이 아니면 $A$의 랭크는 $n$보다 작다. 즉 $det(A) \neq 0$이다. 특히, $A$가 가역이면 $det(A^{-1})=\frac {1}{det(A)}$이다.

 

 지금까지 행에 대한 여인수 전개를 이용한 행렬식의 귀납적 정의나, 4.2절에 다룬 기본행연산을 이용한 효과적인 방법 등, 행의 관점에서 행렬식을 다루었다. 다음의 정리에 따르면 $A$와 $A^{t}$의 행렬식은 항상 같다. $A$의 행이 $A^{t}$의 열이므로, 행렬식의 행에 대한 명제는 열에 대한 명제로 바꾸어 표현할 수 있다.

 

정리

임의의 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $det(A^{t})=det(A)$이다.

 

 위의 정리를 바탕으로 하여 몇 가지 유용한 결과를 확인할 수 있다. 행렬식은 열에 대하여 여인수 전개하여 구할 수 있으면, 기본행연산 대신 기본열연산을 사용할 수도 있다. 이제 특정한 연립일차방정식의 풀이에 행렬식이 어떻게 관련되어 있는지 설명하는, 잘 알려진 결과를 소개한다.

 

정리 - 크라머 공식$($Cramer's Rule$)$

$Ax=b$를 $n$개의 미지수를 가진 $n$개의 연립일차방정식의 행렬표현이라 하자. $($단, $x=(x_1,x_2,...,x_n)^{t})$ $det(A) \neq 0$일 때, 이 연립방정식은 다음과 같은 유일한 해가 있다.

 

$x_k=\frac {det(M_k)}{det(A)}$

 

이때, 각 $k (k=1,2,...,n)$에 대하여 $M_k$는 $A$의 $k$열을 $b$로 바꾸어 얻은 $n \times n$행렬이다. 이 크라머 공식에 대한 예시는 책을 확인하길 바란다.

 

 

4.4 행렬식의 핵심 요약

 이번 절에서는 이 책에서 계속 사용할 행렬식의 주요 성질을 정리하였다.

 체 $F$의 원소를 성분으로 가지는 $n \times n$행렬 $A$의 행렬식은 $det(A)$ 또는 $|A|$라 표기하며 다음과 같은 방식으로 계산할 수 있다.

1. $1 \times 1$행렬 $A$에 대하여 $det(A) = A_{11}$이다. 즉 $A$의 행렬식은 $A$의 유일한 성분이다.
2. $2 \times 2$행렬 $A$에 대하여 $det(A)=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}$이다. 예를 들면 다음과 같다. $det\begin{pmatrix}-1 & 2\\5 & 3\end{pmatrix}=(-1)(3)-(2)(5)=-13$
3. $n>2$인 $n \times n$행렬 $A$를 생각하자. 모든 $i$에 대하여 $i$행에 대한 여인수 전개를 사용하면 행렬식은 다음과 같다.

$det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij} \cdot det(\tilde{A}_{ij})$

 

      또는 모든 $j$에 대하여 $j$열에 대한 여인수 전개를 사용하면 행렬식은 다음과 같다.

 

$det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij} \cdot det(\tilde{A}_{ij})$

 

     이때, $\tilde{A}_{ij}$는 $A$에서 $i$행과 $j$열을 지워서 얻은 $(n-1) \times (n-1)$행렬이다.

 

 위의 공식에서 스칼라 $(-1)^{i+j}det(\tilde{A}_{ij})$는 $A$의 $i$행과 $j$열 성분에 대한 여인수이다. 즉 $A$의 행렬식은 $A$의 어느 행 또는 열에 대한 각 성분과 대응하는 여인수를 곱한 항의 합이다. 따라서 $det(A)$는 $(n-1) \times (n-1)$행렬의 $n$개 행렬식으로 나타낼 수 있다. 이 행렬식은 또 다시 $(n-2) \times (n-2)$행렬의 행렬식으로 나타나며, 계속 반복하면 $2 \times 2$행렬에 도달한다. $2 \times 2$행렬의 행렬식은 위의 두 번째 공식처럼 계산한다.

 

 여인수 전개를 하다보면, 0인 성분이 가장 많은 행 또는 열에 대해 전개하는 것이 편하다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면, 계산해야할 여인수의 수가 줄어들기 때문이다. 이러한 이유로 0이 가장 많이 등장하는 행 또는 열을 선택하여 전개하는 것이 행렬식을 계산할 때 효과적이다. 기본행연산을 여러 번 적용하여 영인 성분이 행렬에 나타나도록 한 뒤 행렬식을 계산하면 좋다. 다음에 나올 행렬식의 성질 1~3을 확인하자.

 

행렬식의 성질

• 성질 1: $n \times n$행렬 $A$의 두 행 또는 두 열을 교환하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $det(B)=-det(A)$이다.
• 성질 2: $n \times n$행렬 $A$의 한 행 또는 열에 스칼라 $k$를 곱하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $det(B)=k \cdot det(A)$이다.
• 성질 3: $i \neq j$에 대하여, $n \times n$행렬 $A$의 $j$행에 $i$행의 스칼라 배를 더하거나 $i$열의 스칼라 배를 $j$열에 더하여 얻은 행렬 $B$를 생각하자. 이때 $det(B)=det(A)$이다.

 

 여인수 전개로만 $det(A)$를 계산하는 방법과 기본행연산의 성질 1~3을 적용하고 $det(A)$를 계산하는 방법을 비교하면 후자가 덜 번거로움을 알 수 있다. 앞으로도 특정한 행렬의 행렬식을 계산할 것이다. 이때, 행렬식의 다음 두 가지 성질이 유용하게 사용된다.

• 성질 4: 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이다. 특히 $det(I)=1$이다.
  
  • 이 성질은 다음 순서로 적용하면 된다.
    1. 가우스 소거법과 성질 1, 2, 3을 사용하여 주어진 행렬을 상삼각행렬로 변형한다.
    2. 상삼각행렬의 대각성분의 곱을 계산한다.
• 성질 5: 행렬의 두 행 또는 열이 같으면 그 행렬식은 0이다.

 

 다음의 3가지 성질은 자주 사용될 것이다. 이 중에서 행렬이 가역인지를 쉽게 판단할 수 있다는 성질 7이 가장 중요하다.

• 성질 6: $n \times n$행렬 $A$와 $B$에 대하여 $det(AB)=det(A) \cdot det(B)$이다.
• 성질 7: $n \times n$행렬 $A$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $det(A) \neq 0$이다. 특히, $A$가 가역이면 $det(A^{-1})=\frac {1}{det(A)}$이다.
• 성질 8: $n \times n$행렬 $A$에 대하여 $A$와 $A^{t}$의 행렬식은 같다.

 

 마지막 성질은 성질 6과 성질 7을 바탕으로 쉽게 확인할 수 있다.

• 성질 9: $A, B$가 서로 닮음이면 $det(A)=det(B)$이다.