프리드버그 선형대수학 - 5장 대각화

Friedberg Linear Algebra

 

프리드버그 선형대수학을 공부하면서 각각의 장 별로 정리를 하였다. 

 

 

Table of Contents

1. 벡터공간

2. 선형변환과 행렬

3. 기본행렬연산과 연립일차방정식

4. 행렬식

5. 대각화$($This post$)$

6. 내적공간

7. 표준형

 

 

The overview of this chapter

 5장에서는 고윳값, 고유벡터, 대각화를 학습하였다. 이 주제의 가장 중요한 응용은 행렬 극한을 계산하는 것이다. 5.4절에서는 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리를 다룬다.

 

 

5.1 고윳값과 고유벡터

 앞서 2.5절에서 $\textbf{R}^2$에서 직선 $y=2x$에 대한 대칭 공식을 유도하였다. 유도 과정의 핵심은 $[\textbf{T}]_{\beta^{'}}$이 대각행렬이 되도록 하는 기저 $\beta^{'}$를 찾는 것이다. 이제 이러한 과정을 가지는 연산자나 행렬에 대하여 알아보자.

 

정의

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$에서 정의된 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여

• $[\textbf{T}]_{\beta}$가 대각행렬이 되도록 하는 $(\textbf{V}$의$)$ 순서기저 $\beta$가 존재할 때, 선형연산자 $\textbf{T}$는 대각화가능하다고 한다.
• $\textbf{L}_{A}$가 대각화가능할 때, 정사각행렬 $A$는 대각화가능하다고 한다.

 

 기저 $\beta$의 각 벡터 $v$는 적절한 스칼라 $\lambda$에 대하여 $\textbf{T}(v)=\lambda v$를 만족한다. 특히, $v$는 기저의 원소이므로 $v$는 영벡터가 아니다. 이를 정리하면 다음과 같다.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여

• 영벡터가 아닌 벡터 $v \in \textbf{V}$와 어떤 스칼라 $\lambda$가 존재하여 $\textbf{T}(v)=\lambda v$를 만족할 때, 벡터 $v$를 $\textbf{T}$의 고유벡터$($eigenvector$)$라 한다.
• 스칼라 $\lambda$를 고유벡터 $v$에 대응하는 고윳값$($eigenvalue$)$이라 한다.

$\textbf{M}_{n \times n}(F)$에 속하는 행렬 $A$에 대하여

• $\textbf{L}_A$의 고유벡터, 즉 $Av=\lambda v$인 스칼라 $\lambda$가 존재하게 만드는 영벡터가 아닌 벡터 $v \in \textbf{F}^{n}$을 $A$의 고유벡터라 한다.
• 스칼라 $\lambda$를 고유벡터 $v$에 대응하는 행렬 $A$의 고윳값이라 한다.

 

 어떤 벡터가 행렬 $A$의 고유벡터이기 위한 필요충분조건은 그 벡터가 $\textbf{L}_A$의 고유벡터인 것이다. 같은 방식으로 스칼라 $\lambda$가 행렬 $A$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 스칼라 $\lambda$가 $\textbf{L}_A$의 고윳값인 것이다. 이 장의 첫 번째 질문은 고유벡터와 고윳값을 사용하여 다음과 같이 답할 수 있다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 고육벡터로 이루어진 순서기저 $\beta$가 존재하는 것이다. 또한 $\textbf{T}$가 대각화가능하고 $\beta = {v_1, v_2,...,v_n}$은 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 순서기저이면 $D=[\textbf{T}]_{\beta}$는 대각행렬이다. 이때, $D_{jj}(1 \leq j \leq n)$는 $v_j$에 대응하는 고윳값이다.

 

 대각화 과정에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다. 

 

고윳값과 고유벡터부터 구해야 행렬의 고육벡터로 이루어진 기저를 얻을 수 있다. 다음 정리는 고윳값을 계산하는 한 가지 방법을 제시한다.

 

정리

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 스칼라 $\lambda$가 $A$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 $det(A-\lambda I_n)=0$이다.

 

정의

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 다항식 $f(t)=det(A-tI_n)$을 $A$의 특성다항식이라 한다.

 

 위의 정리는 행렬의 고윳값이 특성다항식의 근임을 설명한다 즉, 행렬의 고윳값은 특성다항식을 계산하여 얻을 수 있다.

 닮은 행렬끼리는 서로 같은 행렬식과 특성다항식을 가진다. 따라서 선형연산자의 행렬식과 특성다항식을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

정의

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$에서 정의된 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{V}$의 임의의 순서기저 $\beta$에 대하여 $A=[\textbf{T}]_{\beta}$의 행렬식을 $\textbf{T}$의 행렬식이라 하고 $det(\textbf{T})$라 표기한다. 또한 행렬 $A$의 특성다항식 $f(t)=det(A-t I_n)$을 $\textbf{T}$의 특성다항식이라 한다.

 

 위의 정의는 순서기저 $\beta$의 선택과 관계없다. 즉, 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$에서 정의된 선형연산자 $\textbf{T}$와 순서기저 $\beta$에 대하여 $\lambda$가 $\textbf{T}$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 $\lambda$가 $[\textbf{T}]_{\beta}$의 고윳값인 것이다.

 

 $n \times n$행렬 $A$의 특성다항식은 $n$차 다항식이다. 다음 정리에서 더 많은 사실을 확인하자.

 

정리

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $A$의 특성다항식은 $n$차 다항식이고, 최고차항의 계수는 $(-1)^{n}$이다.
2. $A$에는 최대 $n$개의 서로 다른 고윳값이 있다.

 

 다음의 정리에서 고윳값에 대응하는 고유벡터를 찾는 방법을 알아보자.

 

정리

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$와 고윳값 $\lambda$에 대하여 벡터 $v \in \textbf{F}^{n}$에 대응하는 고유벡터이기 위한 필요충분조건은 $v \neq 0$이고 $(A-\lambda I)v=0$인 것이다.

 

 

5.2 대각화 가능성

 5.1절에서는 대각화 문제를 소개하고 선형연산자와 행렬을 대각화하였다. 비록 대각화가능하기 위한 필요충분조건을 알고 있지만 모든 선형연산자와 행렬이 대각화가능한 것이 아니므로 대각화 문제를 완전히 해결한 것은 아니다. 어떤 연산자나 행렬이 주어지면 대각화가능한지 판별할 수 있어야 하며, 고유벡터로 이루어진 기저를 찾는 방법도 알아야 한다. 이번 절에서는 이러한 판정법과 방법론을 다룬다.

 각 고윳값에 대응하는 고유벡터를 하나씩 선택하여 기저를 얻을 수 있다. 이 방법으로 매번 기저를 얻을 수 있는 것으 아니나, 이 방법으로 얻어진 고유벡터들은 언제나 일차독립인 집합을 이룬다. 다음 정리를 확인해보자.

 

정리

벡터공간의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}$의 서로 다른 고윳값 $\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_k$를 생각하자. 각 $i=1,2,...,k$에 대하여 $\lambda_i$에 대응하는 고유벡터로 이루어진 유한집합을 $S_i$라 하자. 각 $S_i$가 일차독립이면 $S_1 \cup S_2 \cup ... \cup S_k$도 일차독립이다.

• 따름정리: $n$차원 벡터공간의 선형연산자 $\textbf{T}$가 서로 다른 $n$개의 고윳값을 가지면 $\textbf{T}$는 대각화가능하다.

 

 위 정리의 따름정리의 역은 거짓이다. $\textbf{T}$가 대각화가능하다고 해서 반드시 서로 다른 $n$개의 고윳값이 있다고 할 순 없다. 항등연산자는 단 하나의 고윳값이 $\lambda=1$이지만 대각화가능하다. 여태까지는 고윳값이 존재해야 대각화가 가능함을 살펴보았다. 사실 대각화 가능성은 특성다항식에 더욱 강한 조건이 갖춰져야 한다.

 

정의

다음 조건은 만족하는 다항식 $f(t) \in \textbf{P}(F)$를 $F$ 위에서 완전히 인수분해된다고 한다. 이때 스칼라 $c,a_1,...,a_n \in F$중 같은 값이 있을 수도 있다.

 

$f(t) = c(t-a_1)(t-a_2)...(t-a_n)$

 

 $R$위에서 $t^2-1=(t+1)(t-1)$은 완전히 인수분해되지만 $(t^2+1)(t-2)$는 완전히 인수분해되지 않는다. $t^2+1$은 일차식으로 분해되지 않기 때문이다. 그러나 $(t+i)(t-i)(t-2)$이므로 $(t^2+1)(t-2)$는 $C$위에서 완전히 인수분해된다.

 

 다음 정의는 완전히 인수분해되는 특성다항식을 가진 연산자가 대각화가능한지 판단할 때 도움을 준다.

 

정의

특성다항식이 $f(t)$인 선형연산자의 고윳값 $\lambda$에 대하여, $(t-\lambda)^{k}$이 $f(t)$의 인수가 되도록 하는 가장 큰 자연수 $k$를 $\lambda$의 중복도$($multiplicity$)$ 또는 대수적 중복도라 한다.

 

 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 대각화가능한 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 $\textbf{V}$의 순서기저 $\beta$가 존재한다. $[\textbf{T}]_{\beta}$는 대각성분이 $\textbf{T}$의 고윳값인 대각행렬이다. $\textbf{T}$의 특성다항식이 $det([\textbf{T}]_{\beta}-t I)$이므로 $\textbf{T}$의 각 고윳값은 $[\textbf{T}]_{\beta}$의 대각성분에 중복도만큼 나타난다. 또한 $\beta$에는 동일한 고윳값에 해당하는 고유벡터가 해당 고윳값의 중복도만큼 존재하는데, $\textbf{T}$가 대각화가능하기 때문에 이들 고유벡터는 일차독립임을 알 수 있다.

 어떤 선형연산자가 대각화가능한지 판단할 때, 각 고윳값에 중복도만큼 일차독립인 고유벡터가 존재하는지 주목하게 된다. 고윳값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터는 $\textbf{T}-\lambda \textbf{I}$의 영공간에 속하는 영이 아닌 벡터임을 확인하였으니 이제 $\textbf{T}-\lambda \textbf{I}$의 영공간을 살펴보자.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 고윳값 $\lambda$에 대하여, 다음 집합 $\textbf{E}_{\lambda}$를 고윳값 $\lambda$에 대응하는 $\textbf{T}$의 고유공간이라 한다.

 

$\textbf{E}_{\lambda}={x \in \textbf{V}: \textbf{T}(x)=\lambda x}=\textbf{N}(\textbf{T}-\lambda \textbf{I}_{\textbf{V}})$

 

이와 비슷하게 $\lambda$에 대응하는 고유공간을 $\lambda$에 대응하는 정사각행렬 $A$의 고유공간이라 한다.

 

 명백히 $\textbf{E}_{\lambda}$는 고윳값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터와 영벡터로 이루어진 부분공간이다. 즉 $\textbf{E}_{\lambda}$의 차원은 고윳값 $\lambda$에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 최대 개수이다. 다음 정리에서 $\textbf{E}_{\lambda}$의 차원과 $\lambda$의 중복도의 관계를 확인하자.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 중복도가 $m$인 고윳값 $\lambda$에 대하여, $1\leq dim(\textbf{E}_{\lambda} \leq m)$이다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다. 이 예제들의 결과는 특성다항식이 완전히 인수분해되는 선형연산자가 대각화가능하기 위한 필요충분조건이 각 고유공간의 차원과 해당 고윳값의 중복도가 같은 것임을 암시한다. 다음 정리에서 참임을 확인해보자. 또한 선형연산자가 대각화가능할 때, 각 고유공간의 기저를 모아 이 연산자의 고유벡터로 이루어진 기저를 만들 수 있다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해되고 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$가 서로 다른 고윳값일 때, 다음이 성립한다.

1. $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $i$에 대하여 $\lambda_i$의 중복도가 $dim(\textbf{E}_{{\lambda}_{i}})$와 같은 것이다.
2. $\textbf{T}$가 대각화가능하고 각각의 $i$에 대하여 $\beta_i$가 $dim(\textbf{E}_{{\lambda}_{i}})$의 순서기저일 때, $\beta=\beta_1 \cup \beta_2 \cup ... \cup \beta_k$는 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 순서기저이다.

 

 이 정리를 끝으로 대각화 문제에 대한 논의를 마무리 하였다. 결과를 간략히 정리하면 다음과 같다.

 

대각화가능 판정법

 $n$차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것이다.

1. $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다.
2. $\textbf{T}$의 고윳값 $\lambda$의 중복도가 $nullity(\textbf{T}-\lambda \textbf{I})$와 같다. 즉 $\lambda$의 중복도는 $n - rank(\textbf{T}-\lambda \textbf{I})$이다. 

 

 대각화가능한 $n \times n$정사각행렬 $A$에 대하여 $Q^{-1}AQ=D$를 만족하는 행렬 $Q, D$를 찾을 수 있다. 이때 $Q$는 $n \times n$가역행렬이고, 각 열은 $A$의 고유벡터이다. 또한 $D$는 $n \times n$대각행렬이고, $j$번째 대각성분은 '$Q$의 $j$열에 대응하는' $A$의 고윳값이다. 이에 대한 예제는 책을 확인하길 바란다. 

 

직합$($direct sum$)$

$\textbf{V}$는 유한차원 벡터공간이고 $\textbf{T}$는 선형연산자라 하자. $\textbf{V}$를 간단한 부분공간들로 분해하는 방법이 있다. 이 방법은 $\textbf{T}$가 $\textbf{V}$에 어떻게 작용하는지 파악하는 데 큰 도움을 준다. 대각화가능한 연산자에서 간단한 부분공간은 이 연산자의 고유공간이 된다.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 부분공간 $\textbf{W}_1,\textbf{W}_2,...,\textbf{W}_k$에 대하여 다음 집합을 부분공간의 sum$($합$)$이라 한다.

 

$\{v_1+v_2+...+c_k: 1\leq i \leq k$에 대하여 $v_i \in \textbf{W}_{i}\}$

 

이를 $\textbf{W}_1+\textbf{W}_2+...+\textbf{W}_i$또는 $\sum_{i=1}^{k}\textbf{W}_{i}$라 표기한다.

 

 임의의 벡터를 벡터의 합으로 표현하는 방법은 유일하지 않다. 서로 다르게도 표현이 가능하기 때문이다. 이러한 벡터 합을 유일하게 표현하도록 하는 추가 조건을 알아보자. 직합의 정의를 일반화하면 다음과 같다.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 부분공간 $\textbf{W},\textbf{W}_1,\textbf{W}_2,...,\textbf{W}_k$를 생각하자. 모든 $i=1,2,...,k$에 대하여 $\textbf{W}_i \subseteq \textbf{W}$이고 다음을 만족하는 $\textbf{W}$를 부분공간 $\textbf{W},\textbf{W}_1,\textbf{W}_2,...,\textbf{W}_k$의 직합이라 하며 $\textbf{W}=\textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_2 \oplus ... \oplus \textbf{W}_k$라 표기한다.

 

$\textbf{W}=\sum_{i=1}^{k}\textbf{W}_{i}$이고 각 $j(i \leq j \leq k)$에 대하여 $\textbf{W}_j \cup \sum_{i \neq j}\textbf{W}_{i}={0}$

 

 다음의 정리는 직합의 정의와 동치인 몇 가지 조건을 다룬다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 부분공간 $\textbf{W}_1,\textbf{W}_2,...,\textbf{W}_k$에 대하여 다음 조건은 동치이다.

1. $\textbf{V}=\textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_2 \oplus ...\oplus \textbf{W}_k$
2. $\textbf{V} = \sum_{i=1}^{k}\textbf{W}_i$인 임의의 $v_1, v_2,...,v_k$에 대하여 $v_1+v_2+...+v_k=0$일 때 모든 $i$에 대하여 $v_i=0$이다.
3. 모든 $v \in \textbf{V}$마다 $v=v_1+v_2+...+v_k$꼴로 표현하는 방법이 유일하다.
4. $\textbf{W}_i$의 순서기저 $\gamma_i$에 대하여 $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup ... \cup \gamma_k$는 $\textbf{V}$의 순서기저이다.
5. 각 $i=1,2,...,k$에 대하여 $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup... \cup \gamma_k$가 $\textbf{V}$의 순서기저가 되도록 하는 순서기저 $\gamma_i$가 존재한다.

 

 위의 정리에 따르면 직합의 관점에서 대각화 가능성을 다음과 같이 설명할 수 있다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{V}$가 고유공간의 직합인 것이다.

 

 

5.3 행렬의 극한과 마르코프 연쇄*

 이번 절에서는 5장에서 학습한 내용을 응용하여 복소수 성분을 가지는 정사각행렬 $A$의 거듭제곱 열 $A, A^{2},...,A^{n},...$의 극한을 다룬다. 본 포스트에서는 행렬의 극한 부분까지만 다루고 마르코프 연쇄에 관한 내용은 다루지 않았다.

 복소수로 이루어진 수열의 극한 ${z_m:m=1,2,...}$은 실수부와 허수부 각각의 극한으로 정의한다. $r_m$과 $s_m$이 실수, $i$는 $i^{2}=-1$인 허수, $\lim_{m \to \infty}r_m$과 $\lim_{m \to \infty}s_m$이 존재할 때 $z_m=r_m+is_m$이라 하면 다음이 성립한다.

 

$\lim_{m \to \infty}z_m=\lim_{m \to \infty}r_m+i\lim_{m \to \infty}s_m$

 

정의

복소수 성분을 가지는 $n \times p$행렬 $L, A_1, A_2,...$를 생각해자. 모든 $1 \leq i \leq n$과 $1 \leq j \leq p$에 대하여 $\lim_{m \to \infty}(A_m)_{ij}=L_{ij}$일 때, 행렬열 $A_1,A_2,...$는 $n \times p$행렬 $L$로 수렴한다고 한다. 이때 행렬 $L$을 이 행렬열의 극한이라 한다. 행렬열의 극한을 $L$로 표기하면 간단히 $\lim_{m \to \infty}A_m=L$이라 나타내기도 한다.

 

 실수열의 극한에서 $\lim_{m \to \infty}a_m$이 존재하면 $\lim_{m \to \infty}ca_m=c(\lim_{m \to \infty}a_m)$이 성립한다. 이 결과를 행렬열로 표현하면 다음과 같이 중요한 성질을 얻는다.

 

정리

복소수 성분을 가지는 $n \times p$행렬열 $A_1, A_2,...$이 행렬 $L$로 수렴한다고 하자. 임의의 $P \in \textbf{M}_{r \times n}(C)$와 $Q \in \textbf{M}_{p \times s}(C)$에 대하여 다음이 성립한다.

 

$\lim_{m \to \infty}PA_m=PL, \lim_{m \to \infty}A_{m}Q=LQ$

 

 다음의 정리는 극한이 존재하기 위한 필요충분조건을 제시한다.

 

정리

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(C)$가 다음 두 조건을 만족하면 $\lim_{m \to \infty}A^{m}$이 존재한다.

1. $A$의 모든 고윳값은 $S$에 속한다.
2. $A$는 대각화가능하다.

 

 

5.4 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리

5.1절에서 선형연산자 $\textbf{T}$의 고유벡터 $v$에 대하여 $\textbf{T}$는 ${v}$로 생성된 공간을 자기자신으로 보낸다는 사실을 확인하였다. 이처럼 선형변환에 의해 자기 자신으로 사영되는 부분공간은 선형연산자를 공부하는 데 아주 중요하다.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{V}$의 부분공간 $\textbf{W}$에 대하여 $\textbf{T}(\textbf{W}) \subseteq \textbf{W}$인 $\textbf{W}$를 $\textbf{V}$의 T-불변 부분공간이라 한다. 즉 모든 $v \in \textbf{W}$에 대하여 $\textbf{T}(v) \in \textbf{W}$이다.

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 영이 아닌 벡터 $x \in \textbf{V}$에 대하여 다음과 같은 부분공간 $\textbf{W}$를 $x$에 의해 생성된 T-순환 부분공간이라 한다.

 

$\textbf{W}=span({x,\textbf{T}(x),\textbf{T}^{2}(x),...})$

 

 $\textbf{T}$-불변 부분공간이 존재하므로 $\textbf{T}$-불변 부분공간을 정의역으로 하는 새로운 선형연산자를 생각할 수 있다. $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}$-불변 부분공간 $\textbf{W}$에 대하여 $\textbf{T}$를 $\textbf{W}$로 제한한 $\textbf{T}_{\textbf{W}}$는 $\textbf{W}$를 정의역, $\textbf{W}$를 공역으로 하는 함수이다. 더 나아가 $\textbf{T}_{\textbf{W}}$는 $\textbf{W}$의 선형변환이다. 선형연산자 $\textbf{T}_{\textbf{W}}$는 모 연산자 $\textbf{T}$의 특정한 성질을 그대로 물려받는다. 다음 정리는 두 연산자가 어떻게 연관되어 있는지 설명한다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}$-불변 부분공간 $\textbf{W}$에 대하여 $\textbf{T}_{\textbf{W}}$의 특성다항식은 $\textbf{T}$의 특성다항식을 나눈다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다.

 위의 정리에 의하면 $\textbf{T}_{\textbf{W}}$의 특성다항식을 이용하여 $\textbf{T}$의 특성다항식에 대한 정보를 얻을 수 있다. 선형연산자 $\textbf{T}$를 순환 부분공간으로 제한하면 특성다항식을 쉽게 계산할 수 있다는 점에서 순환 부분공간은 유용하다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 영이 아닌 벡터 $v \in \textbf{V}$에 의해 생성된 $\textbf{T}$-순환 부분공간 $\textbf{W}$를 생각하자. $k = dim(\textbf{W})$라 하면 다음이 성립한다.

1. ${v, \textbf{T}(v),\textbf{T}^{2}(v),...,\textbf{T}^{k-1}(v)}$는 $\textbf{W}$의 기저이다.
2. $a_0v+a_1\textbf{T}(v)+...+a_{k-1}\textbf{T}^{k-1}+\textbf{T}^{k}(v)=0$이면 $\textbf{T}_{\textbf{W}}$의 특성다항식은 $f(t)=(-1)^{k}(a_0+a_1t+...+a_{k-1}t^{k-1}+t^{k})$이다.

 

케일리-해밀턴 정리

정리 - 케일리-해밀턴 정리$($Cayley-Hamilton theorem$)$

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 특성다항식 $f(t)$에 대하여 $f(\textbf{T})=\textbf{T}_{0}$이다. 즉 $\textbf{T}$는 특성다항식을 만족한다.

 

 앞서의 정리에 따르면 $g(t)$는 $f(t)$를 나눈다. $f(t)=q(t)g(t)$인 다항식 $q(t)$가 존재하므로 다음이 성립한다.

 

$f(\textbf{T})(v)=q(\textbf{T})g(\textbf{T})(v)=q(\textbf{T})(g(\textbf{T})(v))=q(\textbf{T})(0)=0$

 

• 따름정리: $n \times n$행렬 $A$와 $A$의 특성다항식 $f(t)$에 대하여 $f(A)= O$이다.