프리드버그 선형대수학 - 7장 표준형

Friedberg Linear Algebra

 

프리드버그 선형대수학을 공부하면서 각각의 장 별로 정리를 하였다. 

 

 

Table of Contents

1. 벡터공간

2. 선형변환과 행렬

3. 기본행렬연산과 연립일차방정식

4. 행렬식

5. 대각화

6. 내적공간

7. 표준형$($This post$)$

 

 

The overview of this chapter

 7장에서는 표준형에 대해 학습하였다. 조르당 표준형, 최소다항식에 관한 내용을 다뤘다.

 

 

7.1 조르당 표준형 I : 이론적 측면

 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정하자. 앞서 5.2절에서 $\textbf{T}$가 대각화가능한지는 $\textbf{T}$에 대응하는 순서기저의 합집합이 $\textbf{V}$의 순서기저가 되는지에 따라 결정됨을 학습하였다. 즉, 대각화 불가능하다는 것은 적어도 하나의 고유공간이 너무 작다는 뜻이다.

 이번 절에서는 고유공간을 일반화한, 일반화된 고유공간을 정의한다. 이 부분공간에서는 순서기저를 적절히 선택하여 합집합하면 다음을 만족하는 $\textbf{V}$의 순서기저 $\beta$를 얻을 수 있다.

 

$[\textbf{T}]_{\beta}=\begin{pmatrix}
A_1 & O & \cdots & O \\
O & A_2 & \cdots & O \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
O & O & \cdots & A_k \\
\end{pmatrix}$

 

 이때, 각 $A_i$는 다음과 같은 꼴의 정사각행렬이다.

 

$\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$

 

 이때 $\lambda$는 $\textbf{T}$의 고윳값이다. 이러한 행렬 $A_i$를 $\lambda$에 대응하는 조르당 블록이라 하며, 행렬 $[\textbf{T}]_{\beta}$를 $\textbf{T}$의 조르당 표준형이라 한다. 또한 순서기저 $\beta$를 $\textbf{T}$의 조르당 표준기저라 한다. 각 조르당 블록 $A_i$는 대각행렬과 아주 유사한 형태임을 유념하자. 실제로 $[\textbf{T}]_{\beta}$가 대각행렬이기 위한 필요충분조건은 각 $A_i$가 대각행렬이기 위한 필요충분조건은 각 $A_i$가 $(\lambda)$ 꼴인 것이다. 

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 스칼라 $\lambda$를 생각하자. 어떤 자연수 $p$에 대하여 $(\textbf{T}-\lambda \textbf{I})^{p}(x)=0$을 만족하는 영이 아닌 벡터 $x \in \textbf{V}$를 고윳값 $\lambda$에 대응하는 $|textbf{T}$의 일반화된 고유벡터라 한다. 

 

 고유벡터가 고유공간에 속하는 것처럼, 일반화된 고유벡터는 일반화된 고유공간에 속한다.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 고윳값 $\lambda$에 대하여, 다음과 같이 정의한 $\textbf{V}$의 부분집합 $\lambda$에 대응하는 $|textbf{T}$의 일반화된 고유공간이라 하고, $\textbf{K}_{\lambda}$라 표기한다.

 

$\textbf{K}_{\lambda}=\{ x \in \textbf{V}:$어떤 자연수 $p$에 대하여 $(\textbf{T}-\lambda \textbf{I})^{p}(x)=0 \}$

 

정리

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 고윳값 $\lambda$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. $\textbf{K}_{\lambda}$는 $\textbf{E}_{\lambda}$를 포함하는 $\textbf{T}$-불변 부분공간이다.
2. $\mu$가 $\textbf{T}$의 임의의 고윳값이고 $\mu \neq \lambda$이면 $\textbf{K}_{\lambda} \cap \textbf{K}_{\mu}={0}$이다.
3. 임의의 스칼라 $\mu \neq \lambda$에 대하여, $\textbf{T}-\mu \textbf{I}$를 $\textbf{K}_{\lambda}$로 제한하면 단사함수이고 전사함수이다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정하자. 중복도가 $m$인 $\textbf{T}$의 고윳값 $\lambda$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. $dim(\textbf{K}_{\lambda}) \leq m$
2. $\textbf{K}_{\lambda}=\textbf{N}((\textbf{T}-\lambda \textbf{I})^{m})$

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정하자. $\textbf{T}$의 서로 다른 고윳값 $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_k$와 임의의 $x \in \textbf{V}$에 대하여, 다음을 만족하는 벡터 $v_i \in \textbf{K}_{\lambda_{i}}$가 유일하게 존재한다.

 

$x=v_1 + v_2 + \cdots + v_k$

 

 다음의 정리는 특성다항식이 완전히 인수분해되는 모든 선형연산자에 대한 결과로 일반화한 것이다. 이 과정에서 고유공간은 일반화된 고유공간으로 바뀐다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 $(\lambda_1-t)^{m_1}(\lambda_2-t)^{m_2}\cdots (\lambda_k-t)^{m_k}$으로 완전히 인수분해된다고 하자. $i=1,2,...,k$일 때, $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$의 순서기저 $\beta_i$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $i \neq j$에 대하여, $\beta_i \cap \beta_j = \varnothing$이다.
2. $\beta = \beta_1 \cup \beta_2 \cup \cdots \cup \beta_k$는 $\textbf{V}$의 순서기저이다.
3. 모든 $i$에 대하여, $dim(\textbf{K}_{\lambda_{i}})=m_i$이다.

• 따름정리: 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정하자. $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 임의의 고윳값 $\lambda$에 대하여 $\textbf{E}_{\lambda}=\textbf{K}_{\lambda}$인 것이다.

 

 이제 주어진 선형연산자의 일반화된 고유공간을 묘사하는, 적절한 기저를 찾는 문제를 생각하자. 적절한 기저를 찾고나면 위의 정리를 이용하여 이 연산자의 조르당 표준기저를 구할 수 있을 것이다. 이를 위해 예를 들어 기저 $\beta$를 생각하자. 이 벡터들은 $J$의 첫 번째 조르당 블록을 결정하고 다음과 같은 꼴이다.

 

${v_1, v_2, v_3}={(\textbf{T}-\textbf{I})^{2}(v_3), (\textbf{T}-2\textbf{I})(v_3), v_3}$

 

 또한, $(\textbf{T}-s\textbf{I})^{3}(v_3)=0$임을 유념하자. 이 벡터들 사이의 이러한 관계는 조르당 표준기저를 찾는 결정적인 단서가 된다. 이제 다음의 정의는 자연스러워졌다.

 

정의

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 고윳값 $\lambda$에 대응하는 일반화된 고유벡터 $x$를 생각하자. $(\textbf{T}-\lambda \textbf{I})^{p}(x)=0$을 만족하는 가장 작은 자연수 $p$에 대하여, 다음 순서집합을 $\lambda$에 대응하는 $\textbf{T}$의 일반화된 고유벡터의 순환$($cycle$)$이라 한다.

 

${(\textbf{T}-\textbf{I})^{p-1}(x), (\textbf{T}-\textbf{I})^{p-2}(v_3),...,(\textbf{T}-\textbf{I})(x),x}$

 

벡터 $(\textbf{T}-\textbf{I})^{p-1}(x)$와 $x$를 각각 순환의 시작벡터와 종료벡터라 하며, $p$를 순환의 길이라 한다.

 

 선형연산자 $\textbf{T}$의 일반화된 고유벡터의 순환에서 시작벡터는 이 순환에 속한 벡터 중 유일한 고유벡터임을 유념하자. 또한 $x$가 고윳값 $\lambda$에 대응하는 $\textbf{T}$의 고유벡터라면, 집합 ${x}$는 길이가 1이며 고윳값 $\lambda$에 대응하는 $\textbf{T}$의 일반화된 고유벡터의 순환이다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정하자. $\textbf{T}$의 일반화된 고유벡터의 순환의 분할로 표현되는 $\textbf{V}$의 기저 $\beta$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $\beta$에 속하는 일반화된 고유벡터로 이루어진 임의의 순환 $\gamma$에 대하여 $\textbf{W}=span(\gamma)$는 $\textbf{T}$-불변 부분공간이고 $[\textbf{T}_{\textbf{W}}]_{\gamma}$는 조르당 블록이다.
2. $\beta$는 $\textbf{V}$의 조르당 표준기저이다.

 

정리

벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}$의 고윳값 $\lambda$에 대하여 $\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_q$는 각각 $\lambda$에 대한 일반화된 고유벡터의 순환이라 하자. 만약 $\gamma_i$의 시작벡터들이 서로 다르고 이를 모두 모았을 때 일차독립인 집합을 이룬다고 하면 $\gamma_i$들은 서로소이고 합집합 $\gamma=\bigcup_{i=1}^{q}\gamma_i$는 일차독립이다.

• 따름정리: 선형연산자의 일반화된 고유벡터의 순환은 일차독립이다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}$의 고윳값 $\lambda$에 대하여, $\textbf{K}_{\lambda}$는 $\lambda$에 대응하는 일반화된 고유벡터의 순환으로 분할되는 순서기저가 있다.

• 따름정리 1: 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다면, $\textbf{T}$는 조르당 표준형을 가진다.

 

 조르당 표준형은 행렬의 관점에서 다룰 수도 있다.

 

정의

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 하자. $\textbf{F}^{n}$의 선형연산자 $\textbf{L}_A$의 조르당 표준형을 $A$의 조르당 표준형이라 한다.

• 따름정리 2: $n \times n$행렬 $A$의 특성다항식이 완전히 인수분해될 때, $A$는 조르당 표준형 $J$를 가지며, $A$는 $J$와 닮음이다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다.

 

 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정하자. 이는 $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{V}$기 $\textbf{T}$의 고유공간의 직합인 것이다. $\textbf{T}$가 대각화가능하면 고유공간과 일반화된 고유공간은 같다. 

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선혀연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해될 때, $\textbf{V}$는 $\textbf{T}$의 일반화된 고유공간의 직합이다.

 

 

7.2 조르당 표준형 II : 계산적 측면

 이번 절에서는 $n$차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해된다고 가정한다. $\textbf{T}$의 서로 다른 고윳값을 $\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_k$라 표기하자.

 앞선 정리에 의해, 일반화된 고유공간 $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$ 각각은 $\lambda_i$에 대응하는 일반화된 고유벡터의 순환으로 분할되는 순서기저 $\beta_i$를 포함한다. 이제 정리들에 의해, 합집합 $\beta=\bigcup_{i=1}^{k}\beta_i$는 $\textbf{T}$의 조르당 표준기저이다. 각 $i$에 대하여, $\textbf{T}$를 $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$로 제한한 연산자를 $\textbf{T}_i$라 하고 $A_i=[\textbf{T}_{i}]_{\beta_1}$라 하자. $A_i$는 $\textbf{T}_i$의 조르당 표준형이고 $textbf{T}$의 조르당 표준형은 다음 행렬 $J$이다.

 

$J = [\textbf{T}]_{\beta} = \begin{pmatrix}
A_1 & O & \cdots & O \\
O & A_2 & \cdots & O \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
O & O & \cdots & A_k \\
\end{pmatrix}$

 

 이번 절에서는 행렬 $A_i$와 기저 $\beta_i$를 구하고, 자연히 $J$와 $\beta$도 구할 것이다. $J$를 구하는 방법을 이해하면서, 어떠한 관점으로 볼 때 $A_i$가 유일하게 결정됨을 납득하게 될 것이다. $J$의 유일성 정리를 쉽게 서술하기 위해 다음과 같은 관습을 따르자.

 $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$의 기저 $\beta_i$는 이제부터 순환의 길이에 대한 내림차순으로 정렬한다. 다시 말해 $\beta_i$가 순환 $\gamma_1, \gamma_2,...,\gamma_{n_{i}}$로 분할되고 $\gamma_j$의 길이를 $p_j$라 하면, 각 순환을 $p_1 \geq p_2 \geq \cdots \geq p_{n_{i}}$가 되도록 정렬한다는 것이다.

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다.

 

 각 행렬 $A_i$와 순서기저 $\beta_i$를 쉽게 시각화하기 위해, $\textbf{T}_i$의 점 도표$($dot diagram$)$라 불리는 점의 2차원 배열을 이용한다. 이때, $\textbf{T}$를 $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$로 제한한 연산자는 $\textbf{T}_i$이다. $\beta_i$가 일반화된 고유벡터의 순환 $\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_n$로 분할되고, 각 순환의 길이는 $p_1 \geq p_2 \geq \cdots \geq p_{n_{i}}$라 하자. $\textbf{T}_i$의 점 도표는 $\beta_i$를 이루는 벡터 개수만큼의 점으로 구성되어 있으며, 각 점은 다음 규칙을 따라 배열된다.

1. 배열에는 $n_i$개의 열이 있다.$($각 순환은 1개의 열에 대응한다$)$
2. 왼쪽부터 오른쪽으로 센다. $j$열은 $p_j$개의 점으로 이루어져 있다. 각 점은 위에서부터 아래로 $\gamma_j$의 시작벡터부터 종료벡터까지 순차적으로 대응한다.

 

 예를 들어서, 어떤 $i$에 대하야 $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$의 순서기저 $\beta_i$가 네 개 순환의 합집합 $\beta_i=\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \cup \gamma_4$로 이루어져 있고, 각 순환의 길이는 $p_1=3, p_2 = 3, p_3 = 2, p_4 = 1$이라 할 때, $n_i = 4, p_1=p_2=3, p_3 = 2, p_4 = 1$이므로 $\textbf{T}_i$의 점 도표는 다음과 같이 나타낸다.

 

$\begin{matrix}
\bullet & \bullet  & \bullet & \bullet \\
\bullet & \bullet & \bullet &  \\
\bullet & \bullet &  &  \\
\end{matrix}$

 

 또한 $r_1 = 4, r_2 = 3, r_3 = 2$이다.

 

 이제 $\textbf{T}$와 $\lambda_i$에 의해 결정되는 선형연산자의 랭크를 이용하여 $\textbf{T}_1$의 점 도표를 구하는 방법을 소개하겠다. 이로부터 점 도표는 $\textbf{T}$에 의해 완벽히 결정됨을 알 수 있고, 점 도표가 유일함을 보일 수 있다. 한편, $\beta_i$는 유일하지 않다. 

 $\textbf{T}_i$의 점 도표를 결정하기 위해, $\textbf{T}$와 $\lambda_i$만을 사용하여 각 $r_j$를 얻는 방법을 소개하겠다. 곧 소개할 세 정리를 보자. 설명의 편의를 위해 $\textbf{K}_{\lambda_{i}}$의 기저 $\beta_i$는 일반화된 고유벡터의 순환 $n_i$개의 서로소인 합집합으로 표현되며, 각 순환의 길이는 $p_1 \geq p_2 \geq \cdots \geq p_n$라 가정하겠다.

 

정리

임의의 자연수 $r$에 대하여 점 도표의 처음 $r$개 행에 대응하는 $\beta_i$의 벡터는 $\textbf{N}((\textbf{T}-\lambda_{i}\textbf{I})^{r})$의 기저이다. 즉, 점 도표의 처음 $r$개 행에 위치하는 점의 개수는 $nullity((\textbf{T}-\lambda_{i}\textbf{I})^{r})$이다.

• 따름정리: $r=1$인 경우에, $\textbf{E}_{\lambda_{i}}$의 차원은 $n_i$이다. 즉, $\textbf{T}$의 조르당 표준형에서 $\lambda_i$에 대응하는 조르당 블록의 개수는 $\textbf{E}_{\lambda_{i}}$의 차원과 같다.

 

 이제 연산자의 랭크의 관점으로 점 도표를 작성할 수 있게 되었다.

 

정리

$\textbf{K}_{\lambda_{i}}$로의 $\textbf{T}$의 제한을 $\textbf{T}_i$, $\textbf{T}_i$의 점 도표의 $j$행에 위치한 점의 개수를 $r_j$라 하자. 다음이 성립한다.

1. $r_1=dim(\textbf{V})-rank(\textbf{T}-\lambda_i \textbf{I})$
2. $j > 1$일 때, $r_j=rank((\textbf{T}-\lambda_i \textbf{I})^{j-1})-rank((\textbf{T}-\lambda_{i}\textbf{I})^{j})$

• 따름정리: $\textbf{T}$의 임의의 고윳값 $\lambda_i$에 대하여 $\textbf{T}_i$의 점 도표는 유일하다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다. 다음의 결과는 위의 정리의 따름정리로 이해할 수 있다.

 

정리

조르당 표준형을 가지는 $n \times n$행렬 $A, B$를 생각하자. $A$와 $B$가 닮음이기 위한 필요충분조건은 이 둘의 조르당 표준형이 같은 것이다.

 

 임의의 대각행렬은 조르당 표준형을 가진다. 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 조르당 표준형이 대각행렬인 것이다. 즉, $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 조르당 표준기저가 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 것이다. 행렬에 대해서도 이와 비슷한 명제를 만들 수 있다. 

 

 

7.3 최소다항식

케일리-해밀턴 정리에 따르면 $n$차원 벡터공간의 임의의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여, $f(\textbf{T})=\textbf{T}_0$인 $n$차 다항식 $f(t)$가 존재한다. 정확히는 다항식 $f(t)$가 $\textbf{T}$의 특성다항식이다. 이제 이러한 성질을 가지는 가장 낮은 차수의 다항식을 생각할 수 있다. $g(t)$라 하자. 차수는 최대 $n$이다. $g(t)$를 최고차항의 계수로 나누면 최고차항의 계수가 1인 다항식 $p(t)$를 얻을 수 있다.

 

정의

유한차원 벡터공간의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 다항식 $p(t)$가 $p(\textbf{T})=\textbf{T}_0$을 만족하는 가장 낮은 차수의 모닉 다항식일 때, $p(t)$를 $\textbf{T}$의 최소다항식이라 한다.

 

 직전의 논의에 따르면, 유한차원 벡터공간의 모든 선형연산자는 최소다항식을 가진다. 다음 결과에 따르면 최소다항식은 유일하다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 최소다항식을 $p(t)$라 하자.

1. $g(\textbf{T})=\textbf{T}_0$인 임의의 다항식 $g(t)$에 대하여 $p(t)$는 $g(t)$를 나눈다. 특히, $p(t)$는  $\textbf{T}$의 특성다항식의 약수이다.
2. $\textbf{T}$의 최소다항식은 유일하다.

 선형연산자의 최소다항식으로부터 행렬의 최소다항식도 쉽게 정의할 수 있다.

 

정의

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $p(A)=O$를 만족하는 가장 낮은 차수의 모닉 다항식을 $A$의 최소다항식 $p(t)$라 한다.

 

 다음 결과는 당연하다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{V}$의 순서기저 $\beta$에 대하여 $\textbf{T}$의 최소다항식과 $[\textbf{T}]_{\beta}$의 최소다항식은 같다.

 

정리 

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}$의 최소다항식 $p(t)$를 생각하자. 스칼라 $\lambda$가 $\textbf{T}$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 $p(\lambda)=0$이다. 즉, $\textbf{T}$의 특성다항식과 최소다항식의 근은 같다.

 

• 따름정리: 유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$와 그 최소다항식 $p(t)$, 특성다항식 $f(t)$를 생각하자. $\textbf{T}$의 서로 다른 고윳값 $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_k$에 대하여 $f(t)$가 다음과 같이 인수분해된다고 하자.

$f(t)=(\lambda_1-t)^{n_1}(\lambda_2-t)^{n_2} \cdots (\lambda_k-t)^{n_k}$

 

      모든 $i$에 대하여 $1 \leq m_i \leq n_i$이고, 다음 관계식을 만족하는 정수 $m_1,m_2,...,m_k$가 존재한다.

 

$p(t)=(t-\lambda_1)^{m_1}(t-\lambda_2)^{m_2} \cdots (t-\lambda_k)^{m_k}$

 

정리

$n$차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 $\textbf{V}$가 자기 자신의 $\textbf{T}$-순환 부분공간일 될 경우, 특성다항식 $f(t)$와 고유다항식 $p(t)$의 차수는 같고 $f(t)=(-1)^{n}p(t)$이다.

 

 위의 정리는 연산자의 최소다항식의 차수가 최대한 커질 수 있는 조건을 제시한다. 이제 또 다른 극단적인 경우를 살펴보자. 앞선 정리로부터 연산자의 최소다항식의 차수가 가장 작아지는 연산자는 바로 대각화가능한 연산자이다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 최소다항식이 다음과 같은 꼴인 것이다. 이때, $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_k$는 $\textbf{T}$의 서로 다른 고윳값이다.

 

$p(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots(t-\lambda_k)$