프리드버그 선형대수학 - 6장 내적공간

Friedberg Linear Algebra

 

프리드버그 선형대수학을 공부하면서 각각의 장 별로 정리를 하였다. 

 

 

Table of Contents

1. 벡터공간

2. 선형변환과 행렬

3. 기본행렬연산과 연립일차방정식

4. 행렬식

5. 대각화

6. 내적공간$($This post$)$

7. 표준형

 

 

The overview of this chapter

 6장에서는 내적공간에 대해서 학습하였다. 기본 주제인 내적공간, 그람-슈미트 직교화, 직교여공간, 수반연산자, 정규연산자, 자기수반연산자, 직교연산자, 유니타리 연산자, 정사영, 스펙트럼 정리에 대해 학습하였다. 이외의 내적공간의 응용에 대해서는 따로 작성하지 않았다.

 

 

6.1 내적과 노름

 $\textbf{R}^{2}$와 $\textbf{R}^{3}$에서 각, 길이, 직교성과 같은 기하학적 개념은 일반적인 $R$-벡터공간 또는 $C$-벡터공간으로 확장될 수 있다. 이 개념들은 모두 내적과 관련있다.

 

정의

$F$-벡터공간 $\textbf{V}$를 생각하자. $\textbf{V}$에 정의된 내적$($inner product$)$ $\left< x,y\right>$는 $\textbf{V}$의 임의의 벡터 $x$와 $y$의 순서쌍을 스칼라에 대응시키는 함수로, 다음 조건을 만족한다. 임의의 $x,y,z \in \textbf{V}$와 임의의 $c \in F$에 대하여

1. $\left< x+z, y\right> = \left< x,y\right> + \left< z,y\right>$
2. $\left< cx,y\right> = c\left< x, y\right>$
3. $\bar{\left< x,y\right>}=\left< y,x\right>$
4. $x \neq 0$일 때, $\left< x,x\right>$는 양수이다.

 

 예를 들어 $\textbf{C}^{2}$의 두 벡터 $x=(1+i, 4), y=(2-3i,4+5i)$에 대하여 $\left< x,y\right>$는 다음과 같이 계산한다. 그리고 이러한 내적을 표준 내적이라 한다.

 

$\left< x,y\right>=(1+i)(2+3i)+4(4-5i)=15-15i$

 

정의

$A \in \textbf{M}_{m \times n}(F)$를 생각하자. 모든 $i,j$에 대하여 $(A^{*})_{ij}=\bar{A}_{ji}$인 $n \times m$행렬 $A^{*}$를 $A$의 켤레 전치행렬 또는 수반행렬이라 한다.

예를 들어 행렬 $A=\begin{pmatrix}
i & 1+2i \\
2 & 3+4i \\
\end{pmatrix}$에 대하여 수반행렬은 $A^{*}=\begin{pmatrix}
-i & 2 \\
1-2i & 3-4i \\
\end{pmatrix}$이다.

켤레 전치행렬은 이번 장에서 아주 중요한 역할을 한다. $A$의 모든 성분이 실수이면 $A^{*}$는 단순히 $A$의 전치행렬이다.

 

 내적이 주어진 $F$-벡터공간 $\textbf{V}$를 내적공간이라 한다. $F=C$면 $\textbf{V}$를 복소내적공간이라 하고, $F=R$이면 $\textbf{V}$를 실내적공간이라 한다. 이 내적공간의 정의를 바탕으로 확인할 수 있는 몇 가지 성질을 소개한다.

 

정리

내적공간 $\textbf{V}$를 생각하자. 벡터 $x,y,z \in \textbf{V}$와 스칼라 $c \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $\left< x,y+z\right>=\left< x,y\right>+\left< x,z\right>$
2. $\left< x,cy\right>=\bar{c}\left< x,y\right>$
3. $\left< x,0\right>=\left< 0,x\right>=0$
4. $\left< x,x\right>=0 \Leftrightarrow x=0$
5. 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $\left< x,y\right>=\left< x,z\right>$이면 $y=z$이다.

 

 이제 $\textbf{R}^{3}$에서 길이의 개념을 임의의 내적공간으로 일반화해 보자. 벡터 $x=(a,b,c) \in \textbf{R}^{3}$의 길이가 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = \sqrt{\left< x,x\right>}$로 주어지므로 다음과 같이 자연스럽게 정의할 수 있다.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$와 벡터 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $x$의 노름$($norm$)$ 또는 길이를 $\left\| x\right\|=\sqrt{\left< x,x \right>}$로 정의한다.

 

 $\textbf{R}^{3}$의 유클리드 길이에서 성립하는 대표 성질은 일반적인 내적공간에서도 성립한다.

 

정리

$F$-내적공간 $\textbf{V}$와 임의의 벡터 $x,y \in \textbf{V}$, 스칼라 $c \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $\left\| cx\right\|=|c|\cdot \left\| x\right\|$
2. $\left\| x\right\|=0 \Leftrightarrow x=0$이다. 또한 모든 $x$에 대하여 $\left\| x\right\| \geq 0$이다.
3. 코시-슈바르츠 부등식 $|\left< x,y\right>| \leq \left\| x\right\| \cdot \left\| y\right\|$
4. 삼각 부등식 $\left\| x+y\right\| \leq \left\| x\right\|+\left\| y\right\|$

 

 이제 수직의 개념을 임의의 내적공간으로 일반화해보자.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$를 생각하자. $\textbf{V}$의 벡터 $x,y$에 대하여 $\left< x,y\right>=0$이면 두 벡터는 직교$($orthogonal$)$ 또는 수직이라고 정의한다. 또한,

1. $\textbf{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $S$에 속하는 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교할 때, 집합 $S$를 직교집합이라 한다.
2. $\left\| x\right\|=1$인 벡터 $x \in \textbf{V}$를 단위벡터$($unit vector$)$라 한다.
3. $\textbf{V}$의 부분집합 $S$가 직교집합이고 단위벡터로만 이루어져 있을 때, 집합 $S$를 정규직교집합이라 한다.

 

 집합 $S={v_1,v_2,...}$가 정규직교집합이기 위한 필요충분조건은 $\left< v_i,v_j\right>=\delta_{ij}$이다. 이때, $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다. 벡터에 영이 아닌 스칼라를 곱해도 직교성에 영향을 주지 않는다. 영이 아닌 임의의 벡터 $x$에 대하여 $\frac {x}{\left\| x\right\|}$는 단위벡터이다. 영이 아닌 벡터에 길이의 역수만큼의 스칼라를 곱하는 과정을 정규화라 한다.

 

 

6.2 그람-슈미트 직교화와 직교여공간

표준 순서기저는 벡터들이 정규직교집합을 이루기 때문에 특별한 성질을 지닌다. 벡터공간을 구성하는 기본 조각이 기저라면, 내적공간을 구성하는 기본 조각은 정규직교집합인 기저이다. 이제 이러한 기저에 이름을 붙이자.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$의 부분집합이 정규직교집합인 순서기저일 때, 이 부분집합을 정규직교기저라 한다.

 

 다음의 정리와 따름정리는 정규직교집합과, 특히 정규직교기저가 중요한 이유를 설명한다.

 

정리

내적공간 $\textbf{V}$와 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교 부분집합 $S = {v_1,v_2,...,v_k}$를 생각하자. $y \in span(S)$에 대하야 다음이 성립한다.

 

$y = \sum_{i=1}^{k} \frac {\left< y,v_i\right>}{\left\| v_i\right\|^{2}}v_i$

 

• 따름정리 1: 위의 정리에 $S$가 정규직교집합이라는 조건을 추가하자. $y \in span(S)$일 때, 다음이 성립한다. 이를 통해 일차결합의 계수를 쉽게 계산할 수 있다.

$y = \sum_{i=1}^{k}\left< y,v_I\right>v_i$

 

• 따름정리 2: 내적공간 $\textbf{V}$와 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교 부분집합 $S$를 생각하자. 집합 $S$는 일차독립이다.

 

 일차독립인 부분집합과 같은 공간을 생성하는 직교집합을 얻는 이 과정을 이제 임의의 일차독립인 유한 부분집합으로 확장할 수 있다. 다음의 정리를 살펴보자.

 

정리

내적공간 $\textbf{V}$의 일차독립인 부분집합 $S={w_1,w_2,...,w_n}$에 대하여 집합 $S^{'}={v_1,v_2,...,v_n}$을 다음과 같이 정의하자.

 

$v_1=w_1, v_k=w_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac {\left< w_k,v_j\right>}{\left\| v_j\right\|^{2}}v_j$

 

이때 $S^{'}$은 $span(S^{'})=span(S)$이고 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합이다. 이 정리에서 보인 ${v_1,v_2,...,v_n}$을 얻는 방법을 그람-슈미트 직교화라 한다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다. 다음 결과는 주어진 벡터를 정규직교기저의 일차결합으로 나타내는 간단한 방법을 설명한다.

 

정리

점공간이 아닌 유한차원 내적공간 $\textbf{V}$는 정규직교기저 $\beta$를 포함한다. 특히, $\beta={v_1,v_2,...,v_n}$일 때, $x \in \textbf{V}$에 대하여 $x=\sum_{i=1}^{n}\left< x,v_i\right>v_i$이다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다. 위의 정리에 등장한 스칼라 $\left< x,v_i\right>$는 특별한 내적공간을 다룰 때 집중적으로 공부할 것이다. $v_1,v_2,...,v_n$은 정규직교기저에 속하는 벡터이지만 보편적인 내적공간에서 정규직교집합 $\beta$와 연관된 용어를 하나 소개한다.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$의 정규직교 부분집합 $\beta$와 $x \in \textbf{V}$를 생각하자. $y \in \beta$일 때 스칼라 $\left< x,y\right>$를 $\beta$에 대한 $x$의 푸리에 계수라 한다.

 

 이제 직교여공간을 학습할 준비를 마쳤다.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대하여, $S$의 모든 벡터와 수직인 벡터의 집합을 $S^{\perp}$라 하자. 즉 $S^{\perp}=\{ x \in \textbf{V}: $모든 $y \in S$에 대하여 $\left< x,y\right>=0 \}$이다. 집합 $S^{\perp}$를 $S$의 직교여공간이라 한다.

 

 다음의 정리는 $\textbf{V}$의 유한차원 부분공간 $\textbf{W}$와 벡터 $y \in \textbf{V}$에 대하여 $y=u+z$인 유일한 벡터 $u \in \textbf{W}$와 $z \in \textbf{W}^{\perp}$가 존재한다. 또한 ${v_1,v_2,...,v_k}$가 $\textbf{W}$의 정규직교기저일 때, 다음이 성립한다.

 

$u=\sum_{i=1}^{k}\left< y,v_i\right> v_i$

 

• 따름정리: 이 정리의 표기법을 따를 때 벡터 $u$는 $\textbf{W}$의 벡터 중 $y$에 가장 가까운 유일한 벡터이다. 다시 말해 임의의 $x \in \textbf{W}$에 대하여 $\left\| y-x\right\| \geq \left\| y-u\right\|$이다. 등호는 $x=u$일 때만 성립한다.

 

 위 따름정리의 벡터 $u$를 $y$의 $\textbf{W}$에 대한 정사영이라 한다. 벡터의 정사영은 최소제곱법에서 다양하게 응용할 것이다. 다음의 정리는 유한차원 내적공간의 정규직교 부분집합에 대하여 비슷한 결과가 성립함을 설명한다.

 

정리

$n$차원 내적공간 $\textbf{V}$의 정규직교집합 $S={v_1,v_2,...,v_k}$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $S$를 확장하여 $\textbf{V}$의 정규직교기저 ${v_1,v_2,...,v_k,v_{k+1},...,v_n}$을 얻을 수 있다.
2. $\textbf{W}=span(S)$일 때 $S_1={v_{k+1},v_{k+2},...,v_n}$는 $\textbf{W}^{\perp}$의 정규직교기저이다.
3. $\textbf{V}$의 임의의 부분공간 $\textbf{W}$에 대하여 $dim(\textbf{V})=dim(\textbf{W})+dim(\textbf{W}^{\perp})$이다.

 

 

6.3 선형연산자의 수반연산자

 6.1절에서 행렬 $A$의 켤레 전치행렬 $A^{*}$를 정의하였다. 내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여, $\textbf{T}$의 수반연산자를 다음과 같이 정의한다.

 $\textbf{V}$의 임의의 정규직교기저 $\beta$에 대한 행렬표현이 $[\textbf{T}]_{\beta}^{*}$인 선형연산자를 $\textbf{T}$의 수반연산자라 한다.

 복소수의 켤레복소수와 선형연산자의 수반연산자가 어떤 닮은 점이 있는지 확인할 것이다. 이에 앞서 기초적인 사실을 확인하자.

내적공간 $\textbf{V}$와 $y \in \textbf{V}$에 대하여 $\textbf{g}(x)=\left< x,y\right>$로 정의한 함수 $\textbf{g}: \textbf{V} \to F$는 선형이다. 흥미롭게도 $\textbf{V}$가 유한차원이면 $\textbf{V}$에서 $F$로 가는 모든 선형변환은 모두 $\left< x,y\right>$와 같은 꼴이다.

 

정리

유한차원 $F$-내적공간 $\textbf{V}$와 선형변환 $\textbf{g}: \textbf{V} \to F$를 생각하자. 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $\textbf{g}(x)=\left< x,y\right>$를 만족하는 벡터 $y \in \textbf{V}$가 유일하게 존재한다.

 

정리

유한차원 내적공간 $\textbf{V}$와 선형연산자 $\textbf{T}: \textbf{V} \to \textbf{V}$를 생각하자. 모든 $x,y \in \textbf{V}$에 대하여 $\left< \textbf{T}(x), y\right>=\left< x, \textbf{T}^{*}(y)\right>$인 함수 $\textbf{T}^{*}: \textbf{V} \to \textbf{V}$가 유일하게 존재한다. 특히 $\textbf{T}^{*}$는 선형변환이다.

 

 위의 정리에서 소개한 선형연산자 $\textbf{T}^{*}$를 $\textbf{T}$의 수반연산자$($adjoint$)$라 한다. $\textbf{T}^{*}$는 모든 $x,y \in \textbf{V}$에 대하여 $\left< \textbf{T}(x),y\right>=\left< x, \textbf{T}^{*}(y)\right>$를 만족하는 유일한 연산자이다. 또한 모든 $x,y \in \textbf{V}$에 대하여 $\left< x, \textbf{T}(y)\right> = \left< \textbf{T}^{*}(x),y\right>$가 성립한다. 다음의 정리는 수반연산자를 계산하는 데 아주 유용하다.

 

정리

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}$와 $\textbf{V}$의 정규직교기저 $\beta$, $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 다음이 성립한다.

 

$[\textbf{T}^{*}]_{\beta}=[\textbf{T}]_{\beta}^{*}$

 

• 따름정리: $n \times n$행렬 $A$에 대하여 $\textbf{L}_{A^{*}}=(\textbf{L}_{A})^{*}$이다.

 

 

최소제곱법

 다음 문제를 생각해 보자. 어느 실험자가 시각 $t_1,t_2,...,t_m$에 각각 관측값 $y_1,y_2,...,y_m$을 수집하였다. 이를테면 일정한 간격으로 매 시기마다 실업률을 조사한다고 가정하자. 좌표평면 위에 데이터 $(t_1,y_1),(t_2,y_2),...,(t_m,y_m)$을 나타낼 때, 실험자는 $y$와 $t$ 사이에 선형 관계 $($즉 $y=ct+d)$가 성립한다는 인상을 받았다. 이제 직선 $y=ct+d$에 수집된 데이터가 가장 부합하도록 하는 상수 $c,d$를 찾아보자.

 데이터의 각 점과 직선 사이에 '$x$축에 수직한 직선으로 주어지는 거리'의 제곱의 합을 오차 $E$라 하고 $E$의 값을 계산하여 직선의 적합도를 측정할 것이다. 즉 다음 식을 최소화하는 $c,d$를 찾고자 한다.

 

$E = \sum_{i=1}^{m}(y_i - ct_i - d)^{2}$

 

 이런 이유로 $y=ct+d$를 최소제곱 직선이라 한다.

 $A, x, y$를 각각 다음과 같이 나타내자. 그래서 오차 $E$는 $E=\left\| y-Ax\right\|^{2}$이라 나타낼 수 있다.

 

$A=\begin{pmatrix}
t_1 & 1 \\
t_2 & 1 \\
\vdots & \vdots \\
t_m & 1 \\
\end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix}
c \\ d
\end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_m
\end{pmatrix}$

 

 이러한 $E$를 최소화하는 특정한 벡터 $x_0 \in \textbf{F}^{n}$을 찾는 방법을 알아보자. 주어진 $m \times n$행렬 $A$와 모든 벡터 $x \in \textbf{F}^{n}$에 대하여 $\left\| y-Ax_0\right\| \leq \left\| y-Ax\right\|$를 만족하는 벡터 $x_0 \in \textbf{F}^{n}$을 찾고자 한다. 데이터에 부합하는 최선의 일차함수를 찾으면 그 다음엔 임의의 자연수 $k$에 대하여 $k$ 이하의 차수를 가지면서 주어진 데이터에 가장 부합하는 다항식도 찾을 수 있다.

 먼저 표기법을 약속하고 두 개의 보조정리를 설명하겠다. 두 벡터 $x,y \in \textbf{F}^{n}$의 표준 내적을 $\left< x,y\right>_{n}$이라 표기한다. $x$와 $y$를 열벡터로 취급하면 $\left< x,y\right>_{n}=y^{*}x$가 성립함을 확인하자.

• 보조정리 1: $A \in \textbf{M}_{m \times n}(F), x \in \textbf{F}^{n}, y \in \textbf{F}^{m}$에 대하여 다음이 성립한다.

$\left< Ax,y\right>_m = \left< x,A^{*}y\right>_n$

 

• 보조정리 2: $A \in \textbf{M}_{m \times n}(F)$에 대하여 $rank(A^{*}A) = rank(A)$이다.

 

 이제 벡터 $x_0$을 찾는 구체적인 방법을 생각해 보자.

 

정리

$A \in \textbf{M}_{m \times n}(F), y \in \textbf{F}^{m}$이 주어지면, 모든 $x \in \textbf{F}^{n}$에 대하여 $\left\| Ax_0-y\right\| \leq \left\| Ax-y\right\|$이고, $(A^{*}A)x_0=A^{*}y$인 벡터 $x_0 \in \textbf{F}^{n}$이 존재한다. 특히 $rank(A)=n$이면 $x_0=(A^{*}A)^{-1}A^{*}y$이다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다.

 

 

연립일차방정식의 최소해

 모순이 없는 연립일차방정식 $Ax=b$가 해가 유일하지 않는 경우를 생각하자. 이때, 노름의 값이 가장 작은 해를 찾는 것이 바람직하다. 방정식 $Ax=b$의 임의의 해 $u$에 대하여 $\left\| s\right\| \leq \left\| u\right\|$를 만족하는 해 $s$를 최소해라 한다. 다음 정리에 따르면 모순이 없는 모든 연립일차방정식은 유일한 최소해를 구체적으로 구할 수 있다.

 

정리

$A \in \textbf{M}_{m \times n}(F), b \in \textbf{F}^{m}$에 대하여 $Ax=b$가 모순이 없는 연립일차방정식이라 가정하자. 다음이 성립한다.

1. $Ax=b$의 유일한 최소해 $s$가 존재하고 $s \in \textbf{R}(\textbf{L}_{A^{*}})$이다.
2. $s$는 $\textbf{R}(\textbf{L}_{A^{*}})$에 속하는 유일한 해이다. $u$가 $(AA^{*})u = b$를 만족하면 $s=A^{*}u$이다.

 

 이에 대한 예제는 책을 참고하길 바란다.

 

 

6.4 정규연산자와 자기수반연산자

 5장에서 대각화가 즁요한 이유를 학습하였다. 벡터공간 $\textbf{V}$의 연산자가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 '이 연산자의 고유벡터로 이루어진 기저가 존재한다'는 것이다. 6장에서는 내적공간 $\textbf{V}$를 다루므로 고유벡터로 이루어진 정규직교기저가 존재할 조건을 생각하는 것은 자연스럽다. 이때 슈어의 정리가 큰 도움을 줄 것이다. 

 

• 보조정리: 유한차원 내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{T}$가 고유벡터를 포함하면 $\textbf{T}^{*}$도 고유벡터를 포함한다.

 

정리 - 슈어의 정리$($Schur's theorem$)$

유한차원 내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{T}$의 특성다항식이 완전히 인수분해될 때, $[\textbf{T}]_{\gamma}$가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 $\gamma$가 존재한다.

 

 유한차원 내적공간 $\textbf{V}$에서 선형연산자 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 찾는 문제로 돌아오자. 이러한 정규직교기저 $\beta$가 존재하면 $[\textbf{T}]_{\beta}$는 대각행렬이고 $[\textbf{T}^{*}]_{\beta} = [\textbf{T}]_{\beta}^{*}$는 대각행렬이다. 대각행렬은 가환적이므로 $\textbf{T}$와 $\textbf{T}^{*}$는 가환적이다. 이제 다음이 성립한다.

 

$\textbf{V}$가 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 가지면 $\textbf{T}\textbf{T}^{*} = \textbf{T}^{*}\textbf{T}$이다.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$와 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{T}\textbf{T}^{*} = \textbf{T}^{*}\textbf{T}$인 선형연산자 $\textbf{T}$를 정규연산자라 한다. $AA^{*}=A^{*}A$를 만족하는 $n \times n$ 실행렬 또는 복소행렬 $A$를 정규행렬이라 한다.

 

 정규연산잔의 일반적인 성질을 먼저 학습한 뒤, 이 성질을 다음의 정리에서 살펴보자.

 

정리

내적공간 $\textbf{V}$와 정규연산자 $\textbf{T}$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $\left\| \textbf{T}(x)\right\|=\left\| \textbf{T}^{*}(x)\right\|$이다.
2. 임의의 $c \in F$에 대하여 $\textbf{T}-c\textbf{I}$는 정규연산자이다.
3. 고윳값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터 $x$는 고윳값 $\bar{\lambda}$에 대응하는 고유벡터이기도 하다. $\textbf{T}(x)=\lambda x$이면 $\textbf{T}^{*}(x)=\bar{\lambda}x$이다.
4. 고유벡터 $x_1,x_2$에 대응하는 고윳값을 각각 $\lambda_{1},\lambda_{2}$라 하자. $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$이면 $x_1$과 $x_2$는 직교한다.

 

정리

유한차원 복소내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{T}$가 정규연산자이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저가 존재하는 것이다.

 

 실내적공간에서는 정규성을 더욱 강한 조건인 $\textbf{T} = \textbf{T}^{*}$로 바꾸면 이러한 기저가 존재하기 위한 충분조건을 얻을 수 있다.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자.

• $\textbf{T}=\textbf{T}^{*}$인 $\textbf{T}$를 자기수반연산자 또는 에르미트 연산자라 한다.
• $A=A^{*}$인 $n \times n$ 실행렬 또는 복소행렬 $A$를 자기수반행렬 또는 에르미트 행렬이라 한다.

 

 이제 6장의 주요한 결과 중 하나를 소개한다.

 

정리

유한차원 실내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 $\textbf{T}$가 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저 $\beta$가 존재하는 것이다.

 

 

6.5 연산자와 행렬: 유니타리 연산자와 직교연산자

 앞선 정리에서 살펴 본 수반연산자와 켤레복소수의 유사성을 상기하자. $x\bar{z}=1$인 복소수 $z$의 크기는 1이다. 이번 절에서는 이와 유사한 선형연산자, 다시 말해 $\textbf{T}\textbf{T}^{*}=\textbf{T}^{*}\textbf{T}=\textbf{I}$인 내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 다룰 것이다. 여기에서 이러한 선형연산자는 '길이'를 보존하는 연산자임을 확인할 것이다. 이러한 연산자는 유한차원 복소내적공간에서 고윳값의 절댓값이 모두 1일 정규연산자라는 특징이 있다.

 지난 장에서 공간의 구조를 보존하는 함수를 다루었다. 특히 선형연산자는 벡터 합과 스칼라 곱을 보존하고, 동형사상은 벡터공간의 모든 구조를 그대로 보존한다. 내적공간에서는 길이를 보존하는 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하는 것이 자연스럽다. 곧 $\textbf{T}$가 길이를 보존한다는 조건이 내적을 보존하기 위한 충분조건임을 확인하게 될 것이다.

 

정의

유한차원 $F$-내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자.

• $F=C$일 때 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $\left\| \textbf{T}(x) \right\|=\left\| x\right\|$인 $\textbf{T}$를 유니타리 연산자라 한다.
• $F=R$일 때 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $\left\| \textbf{T}(x)\right\|=\left\| x\right\|$인 $\textbf{T}$를 직교연산자라 한다.

 

정리

유한차원 내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$에 대하여 다음 명제는 동치이다.

1. $\textbf{T}^{*}\textbf{T}=\textbf{I}$
2. $\textbf{T}\textbf{T}^{*}=\textbf{I}$
3. 모든 $x,y \in \textbf{V}$에 대하여 $\left< \textbf{T}(x), \textbf{T}(y)\right>=\left< x,y\right>$이다.
4. $\textbf{V}$의 정규직교기저 $\beta$에 대하여 $\textbf{T}(\beta)$도 $\textbf{V}$의 정규직교기저이다.
5. $\textbf{T}(\beta)$가 $\textbf{V}$의 정규직교기저가 되도록 하는 정규직교기저 $\beta$가 존재한다.
6. 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $\left\| \textbf{T}(x)\right\|=\left\| x\right\|$이다.

• 따름정리 1: 유한차원 실내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{V}$가 절댓값이 1인 고윳값에 대응하는 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 포함하기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$가 자기수반 직교연산자인 것이다.
• 따름정리 2: 유한차원 복소내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{V}$가 절댓값이 1인 고윳값에 대응하는 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 가지기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$가 유니타리 연산자인 것이다.

 

 위 정리의 3번 명제를 만족하는 $\textbf{T}$는 내적을 보존한다라고 한다. 그리고 6번 명제를 만족하는 $\textbf{T}$는 노름을 보존한다고 한다.

 

정의

$\textbf{R}^{2}$의 1차원 부분공간 $\textbf{L}$을 생각하자. $\textbf{L}$은 평면 위 원점을 지나는 직선이다. 모든 $x \in \textbf{L}$에 대하여 $\textbf{T}(x)=x$이고, 모든 $x \in \textbf{L}^{\perp}$에 대하여 $\textbf{T}(x)=-x$로 정의한 $\textbf{R}^{2}$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 $\textbf{L}$에 대한 $\textbf{R}^{2}$의 대칭변환이라 한다.

 

 이제 유니타리 변환과 직교변환에 대응하는 행렬을 다루어 보자.

 

정의

$A^{t}A=AA^{t}=I$인 정사각행렬 $A$를 직교행렬이라 하고, $A^{*}A=AA^{*}=I$인 정사각행렬 $A$를 유니타리 행렬이라 한다.

 

 복소정규 행렬 $A$에 대하여 $A$의 고유벡터로 이루어진 $\textbf{F}^{n}$의 정규직교기저 $\beta$가 존재한다. 따라서 $A$는 대각행렬 $D$와 닮음이다. $\beta$의 벡터를 열로 가지며 $D=Q^{-1}AQ$를 만족하는 행렬 $Q$가 존재한다. 한편 $Q$의 열벡터는 $\textbf{F}^{n}$의 정규직교기저이므로 $Q$는 유니타리 행렬이다. 이 경우 $A$를 $D$와 유니타리 동치 또는 직교 동치라고 한다. 이 관계는 $\textbf{M}_{n \times n}(C)$의 동치관계이다. 일반적으로 다음 명제가 성립한다.

 

두 행렬 $A,B$가 유니타리 동치일 필요충분조건은 $A=P^{*}BP$인 유니타리 행렬 $P$가 존재하는 것이다.

 

정리

$n \times n$ 복소행렬 $A$를 생각하자. $A$가 정규행렬이기 위한 필요충분조건은 $A$가 대각행렬과 유니타리 동치인 것이다.

 

정리

$n \times n$ 실행렬 $A$를 생각하자. $A$가 대칭행렬이기 위한 필요충분조건은 $A$가 실대각행렬과 직교 동치인 것이다.

 

 슈어의 정리로부터 다음 결과를 바로 이끌어낼 수 있다. 슈어의 정리를 행렬로 바꾼 것에 불과한 이 정리도 슈어의 정리라 한다.

 

정리 - 슈어의 정리$($Schur's theorem$)$

행렬 $A \in \textbf{M}_{n \times n}(F)$의 특성다항식이 $F$위에서 완전히 인수분해되면 다음이 성립한다.

1. $F=C$이면 $A$는 복소 상삼각행렬과 유니타리 동치이다.
2. $F=R$이면 $A$는 실 상삼각행렬과 직교 동치이다.

 

등장사상

 유한차원 실내적공간의 등장사상을 파악해 보자. 직관적으로 생각하면 등장사상은 물체의 모양을 바꾸지 않는 운동이다. 등장사상의 핵심은 '길이'를 보존하는 것이다.

 

정의

실내적공간 $\textbf{V}$를 생각하자. 모든 $x,y \in \textbf{V}$에 대하여 다음 관계식을 만족하는 함수 $f: \textbf{V} \to \textbf{V}$를 등장사상이라 한다.

 

$\left\| f(x)-f(y)\right\|=\left\| x-y\right\|$

 

 예를 들면 유한차원 실내적공간의 임의의 직교연산자는 등장사상이다. 등장사상의 또 다른 예로 평행이동이 있다. 실내적공간 $\textbf{V}$에서 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $g(x)=x+v_0$인 벡터 $v_0 \in \textbf{V}$가 존재하는 함수 $g: \textbf{V} \to \textbf{V}$를 평행이동이라 한다. 이때 함수 $g$를 $v_0$에 의한 평행이동이라 한다.

 유한차원 실내적공간 실내적공간 $\textbf{V}$의 직교연산자를 $\textbf{V}$의 평행이동에 합성하면 등장사살이다. 놀랍게도 $\textbf{V}$의 모든 등장사상은 이런 꼴로 표현할 수 있다.

 

정리

유한차원 실내적공간 $\textbf{V}$와 등장사상 $f: \textbf{V} \to \textbf{V}$를 생각하자. $f=g \circ \textbf{T}$가 되도록 하는 직교연산자 $\textbf{T}$의 평행이동 $g$가 각각 유일하게 존재한다.

 

 

$\textbf{R}^{2}$의 직교연산자

 등장사상을 다루는 문제는 앞서의 정리에 의해 직교연산자를 다루는 문제로 바뀐다. 다음에 $\textbf{R}^{2}$의 직교연산자를 분류하였다. 

 

정리

$\textbf{R}^{2}$의 직교연산자 $\textbf{T}$와 행렬 $A=[\textbf{T}]_{\beta}$를 생각하자. 다음 중 한 가지만 성립한다.

1. $\textbf{T}$는 회전변환이고 $det(A)=1$이다.
2. $\textbf{T}$는 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환이고 $det(A)=-1$이다.

• 따름정리: $\textbf{R}^{2}$의 임의의 등장사상은 둘 중 하나이다.
  
  1. 회전변환과 평행이동의 합성
  2. 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환과 평행이동의 합성

 

 

6.6 정사영과 스펙트럼 정리

 이 절에서는 유한차원 내적공간의 정규연산자 또는 자기수반연산자 $\textbf{T}$를 우아하게 표현한다. 즉 $\textbf{T}$는 $\lambda_{1}\textbf{T}_{1}+\lambda_{2}\textbf{T}_{2}+\cdots+\lambda_{k}\textbf{T}_{k}$ 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $\lambda_{1}, \lambda_{2},...,\lambda_{k}$는 서로 다른 고윳값이고 $\textbf{T}_1,\textbf{T}_2,...,\textbf{T}_k$는 정사영이다. 이를 증명하기 위해 먼저 정사영과 관련있는 몇 가지 결과를 확인하자.

 

 $\textbf{V}=\textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_2$일 때, $x=x_1+x_2$에 대하여 $\textbf{T}(x)=x_1$인 선형연산자 $\textbf{T}$를 $\textbf{W}_2$에 대한 $\textbf{W}_1$ 위로의 사영이다. 또한 $\textbf{R}(\textbf{T})=\textbf{W}_1={x \in \textbf{V}: \textbf{T}(x)=x}, \textbf{N}(\textbf{T})=\textbf{W}_2$이므로 $\textbf{V}=\textbf{R}(\textbf{T}) \oplus \textbf{N}(\textbf{T})$임을 보였다. $\textbf{T}$를 '$\textbf{W}_1$로의 사영' 또는 단순히 '사영'이라 불러도 문제가 없다. $\textbf{T}$가 사영이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}=\textbf{T}^{2}$인 것이다.

 $\textbf{V}=\textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_2=\textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_3$이라고 해서 $\textbf{W}_2=\textbf{W}_3$임을 보장하지는 않으므로 $\textbf{W}_1$은 $\textbf{T}$를 유일하게 결정하지 않는다. 그러나 정사영 $\textbf{T}$는 치역에 의해 유일하게 결정된다.

 

정의

내적공간 $\textbf{V}$와 사영 $\textbf{T}: \textbf{V} \to \textbf{V}$를 생각하자. $\textbf{R}(\textbf{T})^{\perp}=\textbf{N}(\textbf{T}), \textbf{N}(\textbf{T})^{\perp}=\textbf{R}(\textbf{T})$를 만족하는 $\textbf{T}$를 정사영이라 한다.

 

 다음 정리는 정사영의 가장 중요한 대수적 특징을 설명한다.

 

정리

내적공간 $\textbf{V}$와 선형연산자 $\textbf{T}$를 생각하자. $\textbf{T}$가 정사영이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$의 수반연산자 $\textbf{T}^{*}$가 존재하고 $\textbf{T}^{2}=\textbf{T}=\textbf{T}^{*}$가 성립하는 것이다.

 

 유한차원 내적공간 $\textbf{V}$, 부분공간 $\textbf{W}$, $\textbf{W}$로의 $\textbf{V}$의 정사영 $\textbf{T}$를 생각하자. ${v_1, v_2,...,v_n}$을 잡으면 $[\textbf{T}]_{\beta}$는 처음 $k$개 대각성분이 1이고 나머지 성분이 0인 대각행렬이다. 다시 말해 $[\textbf{T}]_{\beta}$는 다음과 같은 꼴이다.

 

$\begin{pmatrix}
I_k & O_1 \\
O_2 & O_3 \\
\end{pmatrix}$

 

 $\textbf{U}$가 $\textbf{W}$로의 임의의 사영일 때 $[\textbf{U}]_{\gamma}$가 위와 같은 꼴이 되도록 하는 $\textbf{V}$의 기저 $\gamma$를 잡을 수 있다. 이때 $\gamma$는 정규직교가 아닐 수도 있다.

 이번 절의 가장 중요한 정리를 소개한다.

 

정리 - 스펙트럼 정리$($spectral theorem$)$

유한차원 $F$-내적공간 $\textbf{V}$의 선형연산자 $\textbf{T}$의 서로 다른 고윳값을 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k$라 하자. $F=C$이면 $\textbf{T}$가 정규연산자, $F=R$면 $\textbf{T}$가 자기수반연산자라 가정한다. 각 $i$에 대해 고윳값 $\lambda_i$에 대응하는 고유공간을 $\textbf{W}_i$라 표기하자. $\textbf{W}_i$로의 $\textbf{V}$의 정사영을 $\textbf{T}_i$라 할 때 다음이 성립한다.

1. $\textbf{V}=\textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_2 \oplus \cdots \oplus \textbf{W}_k$
2. $j \neq i$에 대하여 부분공간 $\textbf{W}_j$의 직합을 $\textbf{W}_{i}^{'}$이라 표기하자. $\textbf{W}_{i}^{\perp}=\textbf{W}_{i}^{'}$이다.
3. $1 \leq i, j \leq k$에 대하여 $\textbf{T}_i\textbf{T}_j=\delta_{ij}\textbf{T}_i$이다.
4. $\textbf{I}=\textbf{T}_1+\textbf{T}_2+\cdots+\textbf{T}_k$
5. $\textbf{T}=\lambda_1\textbf{T}_1+\lambda_2\textbf{T}_2+\cdots+\lambda_k\textbf{T}_k$

 

 $\textbf{T}$의 고윳값으로 이루어진 집합 ${\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k}$를 $\textbf{T}$의 스펙트럼이라 하고, $($4$)$에서 나온 합 $\textbf{I}=\textbf{T}_1+\textbf{T}_2+\cdots+\textbf{T}_k$를 $\textbf{T}$로 유도된 항등연산자 분해라 하며, $($5$)$에서 나온 합 $\textbf{T}=\lambda_1\textbf{T}_1+\lambda_2\textbf{T}_2+\cdots+\lambda_k\textbf{T}_k$를 $\textbf{T}$의 스펙트럼 분해라 한다. 고윳값의 배열 순서를 무시하면 $\textbf{T}$의 스펙트럼 분해는 유일하다.

 

• 따름정리 1: $F=C$일 때 $\textbf{T}$가 정규연산자이기 위한 필요충분조건은 적절한 다항식 $g$에 대하여 $\textbf{T}^{*}=g(\textbf{T})$인 것이다.
• 따름정리 2: $F=C$일 때 $\textbf{T}$가 유니타리이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$가 정규연산자이고 $\textbf{T}$의 모든 고윳값 $\lambda$에 대하여 $\left\| \lambda \right\|=1$인 것이다.
• 따름정리 3: $F=C$일 때 $\textbf{T}$가 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$가 정규연산자이고 $\textbf{T}$의 모든 고윳값이 실수인 것이다.
• 따름정리 4: $\textbf{T}$의 모든 스펙트럼 분해가 $\textbf{T}=\lambda_1\textbf{T}_1+\lambda_2\textbf{T}_2+\cdots+\lambda_k\textbf{T}_k$이면 각 $\textbf{T}_j$는 $\textbf{T}$에 대한 다항식이다.