프리드버그 선형대수학 - 3장 기본행렬연산과 연립일차방정식

Friedberg Linear Algebra

 

프리드버그 선형대수학을 공부하면서 각각의 장 별로 정리를 하였다. 

 

 

Table of Contents

1. 벡터공간

2. 선형변환과 행렬

3. 기본행렬연산과 연립일차방정식$($This post$)$

4. 행렬식

5. 대각화

6. 내적공간

7. 표준형

 

 

The overview of this chapter

3장에서는 벡터공간과 선형변환을 이용한 연립일차방정식의 풀이법을 학습하였다. 

 

 

3.1 기본행렬연산과 기본행렬

 이번 절에서는 3장에서 두루 사용할 기본연산을 정의한다. 이후 기본연산을 사용하여 선형변환의 랭크를 계산하고 연립일차방정식의 해를 구한다. 기본행렬연산에는 두 종류$($행연산, 열연산$)$이 있으며 행연산이 더 유용하다. 기본연산은 연립일차방정식의 변수를 소거할 때 등장한 세 가지 연산에서 가져올 수 있다. 

 

정의

$m \times n$ 행렬 $A$에 대하여 $A$의 행[열]에 대한 다음 세 연산을 기본행[열]연산이라 한다.

1. $A$의 두 행[열]을 교환하는 것
2. $A$의 한 행[열]에 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것
3. $A$의 한 행[열]에 다른 행[열]의 스칼라 배를 더하는 것

이러한 행연산과 열연산을 통틀어 기본연산이라 한다. 그리고 위의 기본연산 1, 2, 3을 각각 1형, 2형, 3형이라 한다.

 

정의

$n \times n$ 기본행렬은 항등행렬 $I_n$에 기본연산을 적용하여 얻은 행렬이다. $I_n$에 1형, 2형, 3형 연산을 하여 얻은 행렬을 각각 1형, 2형, 3형이라 한다. 

 

 이에 따라서 다음의 정리를 보면, 어떤 행렬에 기본행연산을 적용하는 것은 그 행렬에 적절한 기본행렬을 곱하는 것과 동일하다.

 

정리

행렬 $A \in \textbf{M}_{m \times n}(F)$에 기본행[열]연산을 하여 행렬 $B$를 얻었다면, $B=EA[B=AE]$가 되는 $m \times n[n \times n]$ 기본행렬 $E$가 존재한다. 사실, $A$에서 $B$를 얻은 기본행[열]연산을 $I_m[I_n]$에 똑같이 적용하면 행렬 $E$가 된다.

역으로 $E$가 $m \times m[n \times n]$ 기본행렬일 때, $I_m[I_n]$에서 $E$를 얻은 기본행[열]연산을 $A$에 똑같이 적용하면 $EA[AE]$가 된다.

 

정리

기본행렬은 가역이다. 그 역행렬은 같은 종류의 기본행렬이다.

 

 

3.2 행렬의 랭크와 역행렬

이번 절에서는 행렬의 랭크를 정의한다. 기본연산을 사용하여 행렬과 선형변환의 랭크를 계산하고, 가역행렬의 역행렬을 구하는 방법을 살펴보자.

 

정의

행렬 $A \in \textbf{M}_{m \times n}(F)$에 대하여 $A$의 랭크$($rank$)$는 선형변환 $\textbf{L}_A: \textbf{F}^n \to \textbf{F}^m$의 랭크로 정의하고 $rank(A)$라 표기한다.

 

 선형변환의 랭크가 가진 성질을 이용하면 행렬의 랭크에 대한 많은 정보를 얻을 수 있다. 중요한 결과를 하나 소개하겠다.

 

$n \times n$행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것이다.

 

 모든 행렬 $A$는 적절한 표준 순서기저에 대한 선형변환 $\textbf{L}_A$의 행렬표현이다. 즉, 선형변환 $\textbf{L}_A$의 랭크는 그 행렬표현 중 하나인 $A$의 랭크와 같다. 다음 정리에 따르면 유한차원 벡터공간에서 정의된 임의의 선형변환을 나타내는 모든 행렬표현에 대하여 이 사실을 확장할 수 있다.

 

정리

유한차원 벡터공간 사이에서 정의된 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \to \textbf{W}$와 $\textbf{V}, \textbf{W}$ 각각의 순서기저 $\beta, \gamma$에 대하여 $rank(\textbf{T})=rank([\textbf{T}]_{\beta}^{\gamma})$이다.

 

 그리고 랭크에는 특징이 하나 있는데, 이는 다음의 정리와 같다.

 

정리

임의의 행렬의 랭크는 일차독립인 열의 최대 개수와 같다. 즉, 행렬의 랭크는 그 열에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.

 

 행렬 $A$의 랭크를 구할 떄, $A$에 적절한 기본행[열]연산을 적용하여 일차독립인 열의 개수를 확실히 구할 수 있도록 만든 뒤, 위의 정리를 사용하는 경우가 많다. 이전의 정리를 통해 변형된 행렬의 랭크과 행렬 $A$의 랭크는 서로 같기 때문이다. 행렬 $A$에 기본행[열]연산을 적용하여 0인 성분이 최대한 많이 나오면서도 랭크를 보존하게끔 변형할 수 있다.

 다음의 정리는 이 과정을 이용하여 행렬을 간단하고 특별한 꼴로 만들 수 있음을 설명한다. 이 정리에 대한 증명은 책의 예제를 참고하길 바란다.

 

정리

랭크가 $r$인 $m \times n$행렬 $A$를 생각하자. $r \leq m, r \leq n$이 성립하고 기본행[열]연산을 유한 번 사용하여 $A$를 다음과 같은 꼴로 바꿀 수 있다.

 

$D=\begin{pmatrix}
I_r & O_1 \\
O_2 & O_3 \\
\end{pmatrix}$

 

이때, $i \leq r$이면 $D_{ii}=1$, 그렇지 않으면 $D_{ij}=0$이고 $O_1, O_2, O_3$은 영행렬이다.

 

 이제 목표는 기본행[열]연산을 행렬에 적용하여 $($변형된 행렬이 0을 가능한 많이 가지도록$)$ 간단하게 만들고 행렬에 일차독립인 행이나 열이 몇 개인지 쉽게 파악하여 랭크를 구하는 것이다. 이를 요약하면, 행렬의 일차독립일 열 또는 행의 최대 개수가 명확히 보일 때까지 기본행[열]연산을 적용하여 행렬을 간단하게 만들자는 것이다.

 

역행렬

 $n \times n$행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 랭크가 $n$인 것이다. 이제 임의의 행렬의 랭크를 구할 수 있으므로 주어진 행렬이 가역인지 판단할 수 있다. 기본행연산을 사용하여 행렬의 역행렬을 구하는 간단한 방법을 알아보자.

 

정의

$m \times n$행렬 $A$와 $m \times p$행렬 $B$에 대하여 첨가행렬 $(A|B)$는 $m \times (n+p)$행렬 $(A B)$이다. 즉, 처음 $n$개 열은 $A$의 열이고, 그 다음 $p$개 열은 $B$의 열인 행렬이다.

 

 $n \times n$가역행렬 $A$에 대하여 $n \times 2n$ 첨가행렬 $C=(A|I_n)$을 생각하자. 이는 다음의 관계식이 성립한다.

 

$A^{-1}C=(A^{-1}A|A^{-1}I_n)=(I_n|A^{-1})$

 

 행렬에서 기본행렬을 왼쪽에 곱하는 것은 기본행연산을 적용하는 것과 같으므로, 다음 결과를 얻는다.

 

$A$가 $n \times n$가역행렬이면 행렬 $(A|I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 $(I_n|A^{-1})$로 변형할 수 있다.

 

 역으로, 가역행렬 $A$에 대하여 $(A|I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 $(I_n|A^{-1})$로 변형할 수 있는 $n \times n$행렬 $B$가 존재한다고 가정하자. 기본행연산에 대응하는 기본행렬을 각각 $E_1,E_2,...,E_p$라 놓으면 다음과 같다.

 

$E_pE_{p-1}...E_1(A|I_n)=(I_n|B)$

 

 이를 다시 말하면 다음과 같다.

 

$n \times n$가역행렬 $A$에 대하여, 첨가행렬 $(A|I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 $(I_n|B)$로 변형할 수 있으면 $B=A^{-1}$이다. 

 

 $A$가 가역이 아닌 $n \times n$행렬인 경우를 생각해 보자. $rank(A)<n$이다. 아무리 용을 써도 유한 번의 기본행연산으로 첨가행렬 $(A|I_n)$을 $(I_n|B)$로 변형할 수 없다. 그렇지 않다면 같은 행연산으로 $A$를 $I_n$으로 변형할 수 있는데 기본행연산은 랭크를 보존하므로 $rank(A)=n$이 되어 모순이다. 이때 $A$를 변형하면, 모든 성분이 0인 행을 포함한 행렬을 얻게 된다. 이는 다음을 의미한다.

 

가역이 아닌 $n \times n$행렬 $A$에 대하여, $(A|I_n)$에 기본행연산을 적용하여 $(I_n|B)$ 꼴로 변형을 시도하면 성공하지 못하고 처음 $n$개 성분이 모두 0인 행을 가진 행렬을 얻게 된다.

 

 이에 대한 더욱 자세한 설명은 책의 예제를 확인하길 바란다.

 

 

3.3 연립일차방정식: 이론적 측면

 이번 절에서는 연립일차방정식의 해를 벡터공간의 부분공간으로 묘사한다.

 다음과 같은 형태의 연립방정식을 체 $F$ 위 $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식이라 한다.

 

$(S)\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\
... \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m
\end{matrix}$

 

 이때, $a_{ij}$와 $b_i$는 $F$의 스칼라이고, $x_1, x_2,...,x_n$은 $F$에서 값을 가지는 $n$개의 변수이다.

 다음 $m \times n$행렬을 연립일차방정식 $(S)$의 계수행렬이라 한다.

 

$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
... & ... &  & ... \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\
\end{pmatrix}$

 

 또한, $x=\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
... \\
x_n
\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
... \\
b_m
\end{pmatrix}$이라 하면 연립일차방정식 $(S)$는 다음과 같이 하나의 행렬 식 $Ax=b$로 나타낼 수 있다.

 $As=b$인 $n$순서쌍 $s$를 연립일차방정식 $(S)$의 해라 한다.

 

$s=\begin{pmatrix}
s_1 \\
s_2 \\
... \\
s_n
\end{pmatrix} \in \textbf{F}^n$

 

 연립일차방정식 $(S)$의 모든 해들의 집합을 이 연립일차방정식의 해집합이라 한다. 연립일차방정식 $(S)$의 해집합이 공집합이 아니면 이 연립일차방정식을 모순이 없다 또는 해가 존재한다고 하며, 그렇지 않은 경우 모순이 있다 또는 해가 존재하지 않는다고 한다.

 

정의

$n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=b$는 $b=0$일 때, 동차라 한다. 동차가 아닌 연립방정식은 비동차이다.

 

 임의의 동차 연립일차방정식은 적어도 하나의 해$($영벡터 $O)$가 있다. 다음 정리는 동차 연립일차방정식의 해집합에 대해 더 많은 정보를 알려준다.

 

정리

체 $F$에서 $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=O$을 생각하자. 방정식 $Ax=O$의 해집합을 $\textbf{K}$라 할 때, $\textbf{K}=\textbf{N}(\textbf{L}_A)$이다. 즉, $\textbf{K}$는 $\textbf{F}^n$의 부분공간이고 차원은 $n-rank(\textbf{L}_A)=n-rank(A)$이다. 

 

 비동차 연립방정식을 생각해 보자. 다음 정리에 따르면 비동차 연립일차방정식 $Ax=b$의 해집합은 동차 연립일차방정식 $Ax=O$의 해집합과 관련지어 묘사할 수 있다. $Ax=O$을 $Ax=b$에 대응하는 동차 연립일차방정식이라 한다.

 

정리

모순이 없는 연립일차방정식 $Ax=b$의 임의의 해를 $s$라 하면 다음이 성립한다.

 

$K={s}+\textbf{K}_{\textbf{H}}={s+k:k \in \textbf{K}_{\textbf{H}}}$

 

 이에 대한 예는 책의 예제 2, 3을 확인하길 바란다.

 다음의 정리는 특정 연립일차방정식의 해를 구하는 방법을 설명한다.

 

정리

$n$개의 미지수와 $n$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=b$를 생각하자. 행렬 $A$가 가역이면 이 연립일차방정식은 유일한 해 $A^{-1}b$가 있다. 역으로, 이 방정식의 해가 유일하면 행렬 $A$는 가역이다.

 

 해가 없는 연립일차방정식도 존재한다. 주어진 연립일차방정식이 해가 있는지 판별하는 방법을 알아보자. 이 판별법은 연립방정식 $Ax=b$의 계수행렬의 랭크 그리고 행렬 $(A|b)$의 랭크와 관련 있다. 행렬 $(A|b)$를 연립일차방정식 $Ax=b$의 첨가행렬이라 한다.

 

정리

연립일차방정식 $Ax=b$에 모순이 없기 위한 필요충분조건은 $rank(A)=rank(A|b)$인 것이다.

 

 

3.4 연립일차방정식: 계산적 측면

 3.3에서는 다음의 두 가지를 학습하였다.

1. 연립일차방정식의 해가 있기 위한 필요충분조건
2. 대응하는 동차 연립일차방정식의 해를 이용하여 비동차 연립일차방정식의 해를 표현하는 방법

 이번 절 에서는 기본행연산을 이용하여 두 마리 토끼를 모두 잡아보았다. 이러한 기교의 핵심은 처음 주어진 연립일차방정식을 더 풀기 쉬운 연립일차방정식으로 바꾸는 데 있다.

 

정의

두 연립일차방정식의 해집합이 서로 같을 때, 두 연립일차방정식은 동치라 한다.

 

 다음 정리와 그 따름정리는 두 연립방정식이 동치인지 판정할 때 유용하게 사용할 수 있다.

 

정리

$n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=b$와 $m \times m$가역행렬 $C$에 대하여, 다음 두 연립일차방정식은 동치이다.

 

$Ax=b, (CA)x=Cb$

 

 따름정리

  $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=b$를 생각하자. $(A|b)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 $(A^{'}|b^{'})$을 얻을 수 있다면 $A^{'}x=b^{'}$은 처음 주어진 연립일차방정식과 동치이다.

 

 임의의 연립일차방정식을 푸는 방법에 대한 예는 책을 참고하길 바란다.

 

정의

다음 세 조건을 만족하는 행렬을 행간소사다리꼴 또는 기약행사다리꼴이라 한다.

1. 0이 아닌 성분을 가지는 행은 모든 성분이 0인 행보다 위에 위치한다.$($모든 성분이 0인 행이 존재하지 않을 수도 있다.$)$
2. 각 행의 처음으로 0이 아닌 성분은 그 성분을 포함한 열에서 유일하게 0이 아닌 성분이다.
3. 각 행의 처음으로 0이 아닌 성분은 1이고, 이전 행의 처음으로 0이 아닌 성분보다 오른쪽에 위치한다.

 

 주어진 행렬에 대해 그 행렬의 행간소사다리꼴이 유일함을 증명할 있다. 이는 각기 다른 기본행연산을 적용하여 행간소사다리꼴 $Q, Q^{'}$을 얻으면 $Q=Q^{'}$이 성립함을 뜻한다. 행간소사다리꼴을 얻기 위해 기본행연산을 적용하는 방법은 여러 가지가 있지만 최종 결과는 같다.

 첨가행렬을 행간소사다리꼴로 바꾸는 과정을 가우스 소거법이라 한다. 이 소거법은 두 부분으로 나눌 수 있다.

1. 위에서 아래로 내려가면서 첨가행렬을 변형하여 각 행의 최초로 0이 아닌 성분은 1이고, 이 성분이 이전 행의 최초로 0이 아닌 성분보다 오른쪽 열에 위치하는 상삼각행렬로 만든다.
2. 아래에서 위로 거슬러 올라오면서 상삼각행렬을 변형하여 각 행의 최초로 0이 아닌 성분이 이 성분을 포함하는 열에서 유일하게 0이 아닌 성분인 행간소사다리꼴로 만든다.

 

 이 가우스 소거법의 자세한 진행방법은 책을 참고하길 바란다.

 연립일차방정식의 첨가행렬을 행간소사다리꼴로 바꾸면 다음 구 가지 작업을 효과적으로 수행할 수 있다.

1. 처음 연립일차방정식의 특수해를 찾는다.
2. 대응하는 동차 연립일차방정식의 해집합의 기저를 찾는다.

 

 이 과정을 통해 주어진 연립일차방정식에 모순이 없는지 확인할 수 있다. 연립일차방정식의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은 첨가행렬을 정리하여 행간소사다리꼴을 만들 때, 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 있는 행이 존재하지 않는 것이다.

 $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=b$에 이 절차를 적용할 때, 가우스 소거법을 사용하여 첨가행렬 $(A|b)$를 행간소 사다리꼴 $(A^{'}|b^{'})$으로 바꾸기만 하면 된다. 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 있는 행이 존재한다면 처음 연립일차방정식에 모순이 있다. 그렇지 않다면 $(A^{'}|b^{'})$에서 아래에 위치한 0인 행들은 무시하고, 대응하는 연립일차방정식을 작성한다. 그 다음 앞서 서술한 것처럼 이 연립방정식을 풀어 임의의 해의 꼴로 바꾸어 준다. 이때, $r$는 $A^{'}$의 0이 아닌 행의 개수이다$(r \leq m)$.

 

$s=s_0+t_1u_1+t_2u_2+...+t_{n-r}u_{n-r}$

 

 이 식을 연립일차방정식 $Ax=b$의 일반해라 한다. 일반해는 방정식 $Ax=b$의 임의의 해 $s$를 $n-r$개의 매개변수로 표현한 것이다. 다음 정리에 따르면 $s$는 $n-r$개 미만의 변수로 표현할 수 없다.

 

정리

$Ax=b$를 $n$개의 미지수와 $r$개의 영이 아닌 방정식으로 이루어진 연립일차방정식이라 하자. $rank(A)=rank(A|b)$이고 $(A|b)$가 행간소사다리꼴이면 다음이 성립한다.

1. $rank(A)=r$
2. 앞선 과정을 거쳐 얻은 일반해가 위의 일반해와 같은 꼴이라 하자. 이때, ${u_1,u_2,...,U_{n-r}}$는 대응하는 동차 연립일차방정식의 해집합의 기저이고, $s_0$은 처음 연립일차방정식의 해이다.

 

행간소사다리꼴에 대한 해석

정리

랭크가 $r$인 $m \times n$행렬 $A$에 대하야 행간소사다리꼴을 $B$라 하면 다음이 성립한다.

1. $B$의 영이 아닌 행의 개수는 $r$이다.
2. 각 $i=1,2,...,r$에 대하여 $b_{j_{i}}=e_i$인 $B$의 열 $b_{j_{i}}$가 존재한다.
3. $A$의 $j_1,j_2,...,j_r$열은  일차독립이다.
4. 각 $k=1,2,...,n$에 대하여 $B$의 $k$열이 $d_1e_1+d_2e_2+...+d_re_r$면 $A$의 $k$열은 $d_1a_{j_{1}}+d_2a_{j_{2}}+...+d_ra_{j_{r}}$다.